[leetcode122].为何此时贪心解是最优解 ?

【不知道是不是我想太多了，还是脑抽了？】
今天做了一个有意思问题，即122. Best Time to Buy and Sell Stock II 。简单地用中文描述问题，也就是用[ a1,a2,...,an ]表示一支股票在 n 个时刻的价格，问如何买卖股票可以使得收益最大。比如[1,2,6,8,9]，可以在1的时候买入6的时候卖出，8的时候买入，9的时候卖出，此时收益为5+1=6。

本问题虽然很快就猜到一个贪心解，且看起来非常显然的解，并且完美地AC了。

class Solution(object):
    def maxProfit(self, prices):
        ans=0
        if len(prices)<=1:
            return 0
        for x in range(1,len(prices)):
            if prices[x]-prices[x-1]>=0:
                ans+=prices[x]-prices[x-1]
        return ans

绝大多数的博客、问题的discuss以及官网给出的解答都是仅仅一个贪心的策略（没有探讨为何是最优），即将所有最大的上升子区间加起来，如图所示，即将所有的上升区间

加起来，说实话这看起来很有道理。毕竟满足我们的常识：在最低价的时候买入，在最高价的时候卖出（如果我们能预知未来，恰好此题可以预知未来），看图也是很明显的。

但是我想，这不过是给出了一个贪心解，如何证明它是最优的呢？这个问题难道真的那么简单吗？为了逻辑的完整性，我们必须证明这样的构造（方法）恰好就是最优解，我下午思考了若干种情况，分别分类讨论了一下，搞了很久（是不是我想太多了？）

实际上现在我们的问题无非就是将数组划分为若干个“持股区间”，在左端点上买入，右端点上卖出，找出使得收益最大的“持股区间”。受到狗蔡的启发，实际上我发现只要讲问题足够好地数学化就可以了，我们设给定的数组为[ a1,a2,...,an ]，设最优的“持股区间”为 X （实际上这样的区间是存在的，因为区间的总数有限，可以用隔板法可以得出区间总数），将其划分为 n−1 个小区间，即[ a1,a2 ],…,[ an−1,an ]，设示性函数：

χ[ai+1,ai]={1,[ai+1,ai]⊂X0,[ai+1,ai]⊄X

那么我们的目标函数就是：

max∑i=1n−1(ai+1−ai)⋅χ[ai+1,ai]

很显然，这已经是一个0，1规划问题。另外我们来看实际上如果一个连续的区间[ a1,a2 ]，[ a2,a3 ]都是 X 的子集的话，可以看成是[ a1,a3 ]符合我们的想法。由于示性函数是非负的，我们可以放缩它为：

∑i=1n−1(ai+1−ai)⋅χ[ai+1,ai]=∑+Δaχ+∑−Δaχ≤∑+Δaχ≤∑+Δa

等号成立条件为 (ai+1−ai)≥0 的区间都使示性函数为1，否则为0，这恰好就是贪心算法的解。最优性得证。