神奇的e

开场

之前一直写关于嵌入式linux和zynq的一些内容。这次打算加入DSP，这篇是一些基础知识，作为入门笔记。打算加下来从卷积、傅里叶、拉普拉斯、Z变换、离散傅里叶等来思考一些信号系统的知识。最后通过一些工程实例比如滤波器、PID控制器、调制解调器来应用下这些知识，这只是个开端。

e的起源

生活中经常会遇到这样一个问题，去银行存钱，银行会反着付给我们一些保管费，叫做利息。一般来讲银行说的利率是年利率。

做个简单的模型，小明去银行存1元钱，利率是100%，那年终小明会拿到连本带利一共（1+1*100%）¹=2元。

假设银行的利率是按照月来给的，一年小明连本带利会拿到多少钱？（1+1/12）¹²=2.61303元(约等于)，这是个复利的过程。

假设利息是按天支付的呢？
（1+1/365）³⁶⁵=2.714567482元(约等于)。

现在，我们就可以根据上面的过程，总结出小明用不同的方式存款能拿到的总金额。
sum = (1+1/n)ⁿ,而且你可以试下，当n>>+∞时，sum>>e=2.718281828。
想计算e，显然需要一个更好的工具了。
上面的问题，用极限的形式来表示就是：

很好理解，即使没有学过高等数学，表面上来看，也是当n趋于无穷大时，求后面代数式的结果。这个代数式的结果就是额e！
其实，看起来越难的数学，才越贴近我们的真是生活。比如求正方形的面积很简单s=aa，矩形就稍微麻烦点s=ab。不规则呢？（当然不是完全不规则，要保证函数连续且可导，说到可导，我认为这是第一个体现微积分思想的概念，定义是当一个函数处处存在这样的点，左极限=右极限，不存在这样的点就说明这条曲线有间断点或者说这条取消“不光滑” 拉格朗日最喜欢的光滑，傅里叶当初发表了自己的观点，任何函数都可以用正弦函数的组合来合成，拉格朗日认为有“菱角”的函数是不可能做到的，所以拒绝了他的工作）。
言归正传
用微积分：

这说明一个问题，复杂的过程才更符合现实的生活，更具有一般性。
e的更一般形式是：

对于一个单位状态量的变化率是固定值的系统，其状态可以用自然常数的指数函数来表示。指数函数e^x的变化率与当前的状态值是一样的，这是指数函数的一个内禀属性，这是在定义e的时候就已经隐含的属性。

再来看看欧拉公式

科学界有几个最美的公式：
欧拉的：
;
麦克斯韦方程组

(不研究电磁学，所以这个不太懂)

爱因斯坦的

e=mc²;

傅里叶的:

这里重点要说的欧拉公式：

这是它的三角形式，想要搞清楚欧拉公式，首先要明白e^ix究竟做了什么事情。
前一节废了好大的力气解释了，e这个特殊的数字，它代表了一种无限细分的连续。
盗用一张图：

x是弧度，e^ix就代表了单位长度在直角坐标系的连续转动。

根据上面的分析：

我们把x换成ix

这个是可以用matlab画出来的，当n趋于无穷大的时候，e^ix就是一个圆。
我们可以试试：

x=linspace(0,2*pi,50);%0到2pi之间均匀布置50个点；
n=5000;%此处可将n设成20,50，500或其他
e_ix=(1+x*1i./n).^n;
compass(e_ix);

这说明e^ix其实就是在直角坐标系根据弧度x在画圆。
好啦，解析下

单位长度在直角坐标系旋转180°，显然等于-1，+1=0。原来是1+1=2的问题。
为了证明1+1=2用了了一上午力气☺。

再来说说狄拉克

认识狄拉克可能更多的是在量子力学中。据听说被海森堡忽悠过去的。我们这里只关心他的狄拉克公式，这将是离散傅里叶和Z变换的中的采样信号。虽然公式很简单，但是在信号与系统、现代控制理论中有很大的用途。

除了0点，任意一点都等于零。定义域内积分等于1。
用面积的思维去考虑，这个函数貌似不存在。暂且只能这样理解，在零点时，函数的值为+无穷。
这好像闪电，某一个时间点能量无限大，但是它持续的时间为零。对狄拉克函数求傅里叶变换，结果恒等于1，也就是说，狄拉克函数在频域上，包含所有的频率！！这个特性很重要，我们是不是就可以把这个信号输入到系统中，来观测系统对任意信号的响应？对，事实就是这样。

正交基的概念

基的概念源于线性代数，先从最简单的模型引入。在三维坐标系中的向量可以分别分解到三个坐标轴上，得了三个投影，并且他们正交。正交就是不相干，没有能量交互的意思。
内积： =<(a1,b1,c1),(a2,b2,c2)> =a1a2+b1b2+c1*c2.傅里叶变化就是用e^iwt为基底，来表示任意函数的。

把e^iwt带入，傅里叶变换的公式就出来了，是不是很神奇。
所以，傅里叶变换就是把任意函数投影成e^iwt。想起网上有对情侣网名叫sin…和cos… 在我们工程师眼里，这是很危险的，sin和cos正交啊，不相干的。

总结

对于这些知识只能做到感性的认识，想要说清楚还有很大的距离，而且涉及的数学知识太多，毕竟大学的高数也就70分，现代和概率差点挂科。