【洛谷 P6620 [2020 年联考 A 卷] 组合数问题】【组合数学】

题意

计算$$(\sum _{k=0}^{n}f(k)x^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}))\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$$

其中$f(k)$是一个$m$次多项式$a_0+a_{1}k+\cdots +a_m{k}^m$。
$n,x,p,a_i\le 10^9,m\le 1000$

分析

注意到$m$很小，考虑把$m$放前面，有$$\sum _{k=0}^n(\sum _{i=0}^m{a}_i{k}^i)x^k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=\sum _{i=0}^m{a}_i\sum _{k=0}^n{k}^i{x}^k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$$

令$g(x)=(x+1{)}^n$，容易发现$$g(x)=\sum _{k=0}^n{x}^k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right),x{g}^{\prime }(x)=\sum _{k=0}^{n}k{x}^k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$$

同理可知$$\sum _{k=0}^n{k}^i{x}^k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$$

相当于对$g(x)$做$i$次先求导再乘$x$后得到的多项式。若不把$(x+1{)}^n$展开，则每次求导只会增加一项。只需要维护每一项前的系数就好了。
时间复杂度$O(m^2\log n)$或$O(m^2)$。

代码

#include
using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 1005;

int n, x, MOD, m, a[N], f[N], g[N];

int ksm(int x, int y)
{
	int ans = 1;
	while (y)
	{
		if (y & 1) ans = (LL)ans * x % MOD;
		x = (LL)x * x % MOD; y >>= 1;
	}
	return ans;
}

int main()
{
	scanf("%d%d%d%d", &n, &x, &MOD, &m);
	for (int i = 0; i <= m; i++) scanf("%d", &a[i]);
	f[0] = 1;
	int ans = 0;
	for (int i = 0; i <= m; i++)
	{
		for (int j = 0; j <= i; j++)
			(ans += (LL)a[i] * f[j] % MOD * ksm(x, j) % MOD * ksm(x + 1, n - j) % MOD) %= MOD;
		memset(g, 0, sizeof(g));
		for (int j = 0; j <= i; j++)
		{
			(g[j] += (LL)f[j] * j % MOD) %= MOD;
			(g[j + 1] += (LL)f[j] * (n - j) % MOD) %= MOD;
		}
		for (int j = 0; j <= i + 1; j++) f[j] = g[j];
	}
	printf("%d\n", ans);
	return 0;
}