4815: [Cqoi2017]小Q的表格

题意：

对于n*n的数表，任意一个位置，需要满足：
$$f(a,b)=f(b,a)$$

$$b\times f(a,a+b)=(a+b)\ast f(a,b)$$
每次修改一个位置，需要将相关位置全部修改且求前k行前k列的和。

题解：

将二式变化可得：
$$\frac{f(a,a+b)}{a(a+b)}=\frac{f(a,b)}{ab}$$
所以
$$\frac{f(a,b)}{ab}=\frac{f(a,a-b)}{a(a-b)}=\frac{f(a,amodb)}{a(amodb)}=\frac{f(d,d)}{d^2}$$
其中$d=gcd(a,b)$
所以所有$gcd(i,j)=gcd(a,b)$的位置都会受影响。
枚举$d$
$$ans=\sum _d^{n}f(d)\sum _i^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }\sum _j^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }[gcd(i,j)==1]ij$$
设$s(n)={\sum }_i^n{\sum }_j^n[gcd(i,j)==1]ij$
根据$$\sum _i^n[(i,n)==1]i=\frac{\varphi (i)}{2}\ast n$$
可得：
$$s(n)=\sum _i^n{i}^2\varphi (i)$$
$$ans=\sum _d^{n}f(d)s(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor )$$
分块即可。
但还有一个问题，$f$是待修改的，假如树状数组求和过不去。
所以用普通分块。$O(mlogn)$
code：

#include
#include
#include
#include
#include
#define LL long long
using namespace std;
const LL mod=1e9+7;
int m,n,L[2010],R[2010],cur[4000010];
int phi[4000010],pr=0,prime[4000010],h[4000010],f[4000010],sum[4000010];
int s[4000010],S[2010];
bool v[4000010];
void pre()
{
	memset(v,true,sizeof(v));
	phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=4000000;i++)
	{
		if(v[i]) prime[++pr]=i,phi[i]=i-1;
		for(int j=1;j<=pr&&prime[j]*i<=4000000;j++)
		{
			int s=prime[j]*i;v[s]=false;
			if(i%prime[j]==0) {phi[s]=phi[i]*prime[j];break;}
			phi[s]=phi[i]*(prime[j]-1);
		}
	}
	for(int i=1;i<=4000000;i++) h[i]=(h[i-1]+(LL)i*i%mod*phi[i]%mod)%mod;
	for(int i=1;i<=4000000;i++) f[i]=(LL)i*i%mod,sum[i]=(sum[i-1]+f[i])%mod;
}
void change(int k,int c)
{
	for(int i=k;i<=R[cur[k]];i++) (s[i]+=c)%=mod;
	for(int i=cur[k];i<=cur[n];i++) (S[i]+=c)%=mod;
}
int gcd(int a,int b) {return a==0?b:gcd(b%a,a);}
int get(int k) {return (s[k]+S[cur[k]-1])%mod;}
int main()
{
	pre();
	scanf("%d %d",&m,&n);
	int len=sqrt(n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cur[i]=(i/len)+1;
		if(cur[i]!=cur[i-1]) L[cur[i]]=i,R[cur[i-1]]=i-1;
	}
	R[cur[n]]=n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		s[i]=s[i-1];
		if(L[cur[i]]==i) s[i]=0,S[cur[i]]=S[cur[i]-1];
		s[i]=(s[i]+f[i])%mod;(S[cur[i]]+=f[i])%=mod;
	}
	while(m--)
	{
		int a,b,k;LL x;scanf("%d %d %lld %d",&a,&b,&x,&k);
		int d=gcd(a,b);a/=d;b/=d;
		x=x/a/b;x%=mod;change(d,-f[d]);f[d]=(int)x;change(d,f[d]);
		int i=1,j=0,ans=0;
		while(i<=k)
		{
			j=k/(k/i);
			ans=(ans+(LL)h[k/i]*(get(j)-get(i-1))%mod)%mod;
			i=j+1;
		}
		printf("%d\n",(ans+mod)%mod);
	}
}