数论：px+py 不能表示的最大数为pq-p-q的证明

数论：px+py 不能表示的最大数为pq-p-q的证明

对于互质的两个数p，q，px+py 不能表示的最大数为pq-p-q.

证明：

先证:pq-p-q不能被px+py表示.

假设pq-p-q可以被px+py表示

那么 px+py=pq-p-q

 p(x+1)+q(y+1)=pq

-> q|x+1 p|y+1

很明显x+1>=q

p(x+1)>=pq 矛盾

所以pq-p-q不能被px+py表示.

再证：大于pq-p-q的数一定可以用px+qy表示(x>=0 y>=0)

(p-1)(q-1)=pq-p-q+1

对于n>pq-q-p即n>=(q-1)(p-1)

gcd(p,q)=1

对于z

不妨设a>0>b,显然a>0

那么如果a>q,取a1=a-q,b1=b+p

那么有a1p+b1q=z.

如果a1>q，可以继续以得到

Ap+Bq=z,且0<|A|

pq-p-q=(p-1)q-q=(q-1)p-p

对于n>pq-q-p

n=pq-q-p+k*min{p,q}+r

r

那么取A,B

Ap+Bq=r,且0<|A|

不妨设A>0

n=pq-q-p+k*min{p,q}+r

=(q-1)p-p+k*min{p,q}+Ap+Bq

=(A-1)p+(B+q-1)p+k*min{p,q}

其中(A-1),(B+q-1)>=0

那么无论min{p,q}是p还是q，都有

对于n>pq-q-p,都可以表示成px+qy 。

时间复杂度分析
计算 ab−a−b的时间复杂度是O(1)。

买不到的数目

小明开了一家糖果店。
他别出心裁：把水果糖包成4颗一包和7颗一包的两种。
糖果不能拆包卖。
小朋友来买糖的时候，他就用这两种包装来组合。
当然有些糖果数目是无法组合出来的，比如要买 10 颗糖。
你可以用计算机测试一下，在这种包装情况下，最大不能买到的数量是17。
大于17的任何数字都可以用4和7组合出来。
本题的要求就是在已知两个包装的数量时，求最大不能组合出的数字。

输入格式
两个正整数 n,mn,m，表示每种包装中糖的颗数。

输出格式
一个正整数，表示最大不能买到的糖数。

数据范围
2≤n,m≤1000
保证数据一定有解。

输入样例：
4 7
输出样例：
17

// 对于互质的两个数p，q，px+py 不能表示的最大数为pq-p-q.

#include
int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    printf("%d",n*m-n-m);
    return 0;
}