Graph相关内容的理解

度 / 自由度的理解

• 度（degree）/ 自由度，也叫valency（直译化合价），是指Graph(图)中一个节点，有多少条边连接其上。

• 图的度是其所有节点的度中最大值。对于“度”的理解，结合自由度，和化合价这个英文原词来理解，本意应该是衡量一个节点与外界连通性的度量。

• 例如在计算二阶导数时

  • 一元函数（一维函数）其公式如下，直观上可以理解为：其二阶导数等于其在所有自由度上微扰之后获得的增益。一维函数其自由度可以理解为2，分别是+1方向和-1方向.

  $$\begin{array}{rl}{f}^{\prime \prime }(x)=\frac{{\partial }^{2}f(x)}{\partial x^2}& =f^{\prime }(x)-f^{\prime }(x-1)\\ & =f(x+1)-f(x)-(f(x)-f(x-1))\\ & =f(x+1)+f(x-1)-2f(x)\\ & =[f(x+1)-f(x)]+[f(x-1)-f(x)]\end{array}$$

  • 二元函数（二维函数）其二阶导数如下，直观理解时可以类比二维图像（二维图像可以看做特殊形式的二维函数），类似一维函数的二阶导数，只是二维函数的自由度更多（用于计算函数二阶导数的方向），下面公式包含了4个自由度，$(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)$.

  $$\begin{array}{rl}(\Delta f{)}_{x,y}& =\frac{\partial f(x,y)}{\partial x^2}+\frac{\partial f(x,y)}{\partial y^2}\\ & \approx f(x+1,y)+f(x-1,y)-2f(x,y)+f(x,y+1)+f(x,y-1)-2f(x,y)\\ & =f(x+1,y)+f(x-1,y)+f(x,y+1)+f(x,y-1)-4f(x,y)\\ & =[f(x+1,y)-f(x,y)]+[f(x-1,y)-f(x,y)]+[f(x,y+1)-f(x,y)]+[f(x,y-1)-f(x,y)]\end{array}$$

  • 参考链接1，其实《数字图像处理》书中对于二阶导数的定义也是考虑到了8个自由度。

    (对于图像的二阶导数)还可以任意的定义自由度，比如对角线也算的话，就是8个自由度。在卷积时，使用的拉普拉斯模板就对应着1种方式的自由度定义

综上，度的概念，虽然对于不同对象有不同的具体定义，但是直觉上理解，我认为是函数上的某点，或者Graph上某点与其周边环境（邻接的点）的连通程度。一维函数上一点只能向左或者向右移动，因此度是2；二维函数可以向左右上下，甚至左上右下移动，因此度可以是4，8，甚至自定义更多；对于Graph上的节点node而言，其度就是连接到该节点的边的数量，同样是代表了这个节点连接到了多少个其他节点。

最后补充，这种直观上的理解对于进一步理解拉普拉斯算子（尤其是Graph上的拉普拉斯算子）有很大帮助，如链接1中提到的：

这给我们一种形象的结论：拉普拉斯算子就是在所有自由度上进行微小变化后获得的增益 (另一种说明，Informally, the Laplacian measures how different the value of f at p is from the average value of the neighbors)。

参考：

1. http://xtf615.com/2019/02/24/gcn/