排列组合 "n个球放入m个盒子"问题 总结

算法：

HDU - 6397 Character Encoding 插板法+容斥原理  https://blog.csdn.net/xiang_6/article/details/81868989

[ACM] POJ 1664 放苹果（n个相同小球放入m个相同盒子）  https://blog.csdn.net/sr_19930829/article/details/38293297

m个相同的bean和n棵不同的树，每棵树可以放也可以不放beans  https://blog.csdn.net/moon_sky1999/article/details/81835284

n个球放入m个盒子，使用程序输出所有的放法？   https://www.zhihu.com/question/51448931

 

 

 

1、球同，盒同，盒不可以为空  Pm（N）--这符号表示部分数为m的N-分拆的个数，m是P的下标，为了好看我将大写的M弄成小写
2、球同，盒同，盒可以为空    Pm（N+M）--为什么要加M，与4为什么要在3的基础上加M是一样的，就是为了保证不为空
3、球同，盒不同，盒不可以为空  C(N-1, M-1)
4、球同，盒不同，盒可以为空   C(N+M-1, M-1)
5、球不同，盒同，盒不可以为空  S(N, M) --第二类斯特林数
6、球不同，盒同，盒可以为空   S (N, 1) + S(N, 2) + S(N, 3) + ... + S(N, M)
7、球不同，盒不同，盒不可以为空  M! * S(N, M)
8、球不同，盒不同，盒可以为空 M^N  --表示M的N次方

1.球同，盒不同，无空箱

C(n-1,m-1), n>=m
0, n

使用插板法：n个球中间有n-1个间隙，现在要分成m个盒子，而且不能有空箱子，所以只要在n-1个间隙选出m-1个间隙即可

 

 

2.球同，盒不同，允许空箱

C(n+m-1,m-1)

我们在第1类情况下继续讨论，我们可以先假设m个盒子里都放好了1个球，所以说白了就是，现在有m+n个相同的球，要放入m个不同的箱子，没有空箱。也就是第1种情况

 

 

3.球不同，盒相同，无空箱

第二类斯特林数dp[n][m]
dp[n][m]=m*dp[n-1][m]+dp[n-1][m-1],1<=m dp[k][k]=1,k>=0
dp[k][0]=0,k>=1
0,n

这种情况就是第二类斯特林数，我们来理解一下这个转移方程。

对于第n个球，如果前面的n-1个球已经放在了m个箱子里，那么现在第n个球放在哪个箱子都是可以的，所以m*dp[n-1][m];

如果前n-1个球已经放在了m-1个箱子里，那么现在第n个球必须要新开一个箱子来存放，所以dp[n-1][m-1]

其他的都没法转移过来

 

 

 

4.球不同，盒相同，允许空箱

sigma dp[n][i],0<=i<=m,dp[n][m]为情况3的第二类斯特林数

这种情况就是在第3种情况的前提下，去枚举使用的箱子的个数

 

 

 

5.球不同，盒不同，无空箱

dp[n][m]*fact[m],dp[n][m]为情况3的第二类斯特林数,fact[m]为m的阶乘

因为球是不同的，所以dp[n][m]得到的盒子相同的情况，只要再给盒子定义顺序，就等于现在的答案了

 

 

6.球不同，盒不同，允许空箱

power(m,n) 表示m的n次方

每个球都有m种选择，所以就等于m^n

 

 

7.球同，盒同，允许空箱

dp[n][m]=dp[n][m-1]+dp[n-m][m], n>=m
dp[n][m]=dp[n][m-1], n 边界dp[k][1]=1,dp[1][k]=1,dp[0][k]=1

现在有n个球，和m个箱子，我可以选择在所有箱子里面都放上1个球，也可以不选择这个操作。

如果选择了这个操作，那么就从dp[n-m][m]转移过来

如果没有选择这个操作，那么就从dp[n][m-1]转移过来

 

 

 

8.球同，盒同，无空箱

dp[n-m][m],dp同第7种情况,n>=m
0, n

因为要求无空箱，我们先在每个箱子里面放1个球，然后还剩下n-m个球了，再根据情况7答案就出来了

 

 

对以上1，2，5，6，7，8公式作解释说明，3，4不用解释了，插板法
先说：
8、球不同，盒不同，盒可以为空 M^N 
不妨设这N个小球为a1 ， a2 ，…，an  .首先把a1 放进盒子里，因为M个盒子是不同的，所以有M种放法，同理，a2 ，…，an放进盒子里都有M种放法，依乘法原则知不同的方案数 N  = M*M*。。。M（共N个)=M^N

例8-1：8个不同的球放进3个不同的盒子里，有几种方法？

每个球都有3种选择，8个球就有3^8=6561

例8-2：某单位今年新进了3 个工作人员，可以分配到3 个部门，但每个部门至多只能接收2 个人，问：共有几种不同的分配方案？
A．12       B．16     C．24     D．以上都不对
3^3-3=24

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接下来说：

1、球同，盒同，盒不可以为空  Pm（N）
2、球同，盒同，盒可以为空    Pm（N+M）
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首先要记得：
P1（n）=1 ， Pn（n）=1， Pn-1（n）=1
P2（n）=[n/2]  --[]表示不超过n/2的最大整数
Pn+1（n）=0 --或者表示没意义，因为n个球要放到n+1个盒子中，又不允许为空，没意义。
公式：Pm（N）=P1(N-m)+P2(N-m)+P3(N-m)+......+Pm(N-m) ------(共M项）


有人可能会说上面这几个都难得记，你只要明白拆分或结合实际意思就容易知道了，比如Pn（n）=1，n个球放n个盒子，每个盒子又不能为空，肯定只有1种。
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例2-1：7个相同球放入4个相同盒子，每盒至少一个，有多少种放法？
方法一，公式法。
代入公式：Pm（N）=P1(N-m)+P2(N-m)+P3(N-m)+......+Pm(N-m)
P4(7)=P1(3)+P2(3)+P3(3)-------P4(3)，没意义省去
=1+1+1
=3,故有3种


方法二，拆数法。
1、先每个盒子放一个，还剩下3个球；
2、把“3”这个数拆成4个数（因为4个盒子）有如下：
3000  2100 1110---------拆数时不考虑顺序
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例1-1：7个相同球放入4个相同盒子，可以空盒，有多少种放法？

方法一，公式法。
代入公式：Pm（N）=P1(N-m)+P2(N-m)+P3(N-m)+......+Pm(N-m)
P4(7+4)= P4(11)
=P1(7)+P2(7) +P3(7) +P4(7)
=1+3+(P1(4)+ P2(4)+ P3(4))+( P1(3)+ P2(3)+ P3(3)+ P4(3))
=1+3+(1+2+1)+(1+1+1+0)
=4+4+3
=11，故有11种


方法二，拆数法。
1、先借4个球来，每个盒子放一个，还剩下7个球；
2、把“7”这个数拆成4个数（因为4个盒子）有如下：
0007  0016 0025 0034 0115 0124 0133 0223 1114 1123 1222

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例2-2：10个相同的小球放进5个相同的盒子，使得无一空盒，共有多少种放法？
解析：
10个放了5个，还有5个。
5个放到1个盒，放到2个盒，放到3个盒。。。。放到5个盒，列式：
P5(10)
=P1(5)+P2(5)+P3(5)+P4(5)+P5(5)

=1+2+[P1(2)+P2(2)]+1+1
=1+2+[1+1]+1+1
=7
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最后来说复杂的：
5、球不同，盒同，盒不可以为空  S(N, M)
6、球不同，盒同，盒可以为空   S (N, 1) + S(N, 2) + S(N, 3) + ... + S(N, M)
7、球不同，盒不同，盒不可以为空  M! * S(N, M)
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S2（N ，M）	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1
2	1	1
3	1	3	1
4	1	7	6	1
5	1	15	25	10	1
6	1	31	90	65	15	1
7	1	63	301	350	140	21	1
8	1	127	966	1701	1050	266	28	1
9	1	255	3025	7770	6951	2646	462	36	1

上面就是传说的：第二类斯特林数（第二类Stirling数）----可以百度下
S(N, M)表示什么意思呢？就是第N行M列的数字，例如S(7, 3) 就是第7行第3个数字。
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例5-1：8个不同的球放进3个相同的盒子里，每盒至少一个，有几种方法？

公式法：S(N, M)=S(8, 3)。第8行的第3列，对着表格找相应的数为966

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例6-1：8个不同的球放进3个相同的盒子里，有几种方法 ？

公式法： S(8,3)=S (8, 1) + S(8, 2) + S(8, 3)=1+127+966=1094。即为第8行前3列的和。

注：这种类型结合第8种更简单些，在例8-1中，3个元素都相异，比如116，一共有6种排列（球是不同的），此问中，盒子是相同的，因此这6种排列都只算一种情况。 但如果2个元素相同的时候，有且只有 008，只有3种排列，我们多添加3种进去，令其也重复6次，则（6561+3）就是所有的情况都重复了6次，（6561+3）/6=1094即为所求。

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例7-1：8个不同的球放进3个不同的盒子里，每盒至少一个，有几种方法 ？

公式：M! * S(N, M)=3！*S(8, 3)=6*966=5796
例7-2：4名教师分派到3所中学任教，每所至少1名教师，则有不同的分派方案多少种？
公式：M! * S(N, M)=3！*S(4, 3)=6*6=36

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现在剩下怎么记上面这个表格了，其实记这个表格非常简单：

1、先写好行号1---9和列号1---9。

2、然后前3个数字写1。

4、左右两边都是1，第几行就有几个数，比如第5行就是1XXX1。

5、 S(r, c) = S(r-1,c-1) + c * S(r-1, c)，含义是第r排的第c个数等于他上一排的上一个位置数字加上一排的同样位置数字的c倍（对着上表的行号和列号看，很容易记）。r=row,c=column.

例如S(7, 3) 就是第7排第3个数字，所以他等于上排第6排第2个数字+第6排第3个位置*3。

所以画图的话，明显第1排是1，第2排1，1，推理第3排（左右两边都是1，只有中间那个数字没确定）。

所以 S(3, 2) = 第2排第1个数字+第2排第2个数字*2 = 1+1*2 = 3，所以第3排数字就是1，3，1。同理 S(4, 2) = S(3, 1)+ 2S(3, 2) = 1+2*3 = 7, ... 如此类推。

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四、练习题
1、8个相同的球放进4个相同的盒子里，每盒至少一个，有几种方法  ？
2、8个相同的球放进4个不同的盒子里，每盒至少一个，有几种方法  ？
3、8个不同的球放进4个不同的盒子里，每盒至少一个，有几种方法  ？
4、8个不同的球放进4个相同的盒子里，每盒至少一个，有几种方法 ？
5、8个相同的球放进4个相同的盒子里，有几种方法 ？
6、8个相同的球放进4个不同的盒子里，有几种方法  ？ 
7、8个不同的球放进4个不同的盒子里，有几种方法 ？  
8、8个不同的球放进4个相同的盒子里，有几种方法  ？


9、8个不同的球平均分给4个小朋友，有几种分法  ？
10、8个不同的球平均分成4堆，有几种分法  ？
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下面是我做的，不一定是正确答案，大家可以先做了对一下结果，不同再讨论下：

1、8个相同的球放进4个相同的盒子里，每盒至少一个，有几种方法  ？
公式：球相同，盒相同，拆分公式。
P4(8)=P1(4)+P2(4)+P3(4)+P4(4)
=1+2+1+1
=5

2、8个相同的球放进4个不同的盒子里，每盒至少一个，有几种方法  ？
公式：球相同，盒不同，插板法。
C(8-1,4-1)
=C(7,3)
=7*6*5/6
=35

3、8个不同的球放进4个不同的盒子里，每盒至少一个，有几种方法  ？
公式：球不同，盒不同，不为空，阶乘和二类斯特林数，球是行号，盒子是列号。
M!*S(N,M)
=4! * S(8,4)
=24*1701
=40824


4、8个不同的球放进4个相同的盒子里，每盒至少一个，有几种方法 ？
公式：球不同，盒同，二类斯特林数，为空是累加，不为空是直接取数，球是行号，盒子是列号。
S(N,M)
=S(8,4)
=1701

5、8个相同的球放进4个相同的盒子里，有几种方法 ？
公式：球同，盒同，为空，拆分公式。
P4(8+4)=P4(12)
=P1(8)+P2(8)+P3(8)+P4(8)
=1+4+(P1(5)+P2(5)+P3(5))+(P1(4)+P2(4)+P3(4)+P4(4))
=1+4+(1+2+(P1(2)+P2(2))+(1+2+1+1)
=1+4+5+5
=15


6、8个相同的球放进4个不同的盒子里，有几种方法  ？
公式：球同，盒不同，插板法。
C(11,3)
=11*10*9/6=15*11=165

7、8个不同的球放进4个不同的盒子里，有几种方法 ？
公式：球不同，盒不同，为空，直接是M^N
4^8=4^4*4^4=2^8*2^8=256*256=65536

8、8个不同的球放进4个相同的盒子里，有几种方法  ？
公式：球不同，盒同，二类斯特林数，为空，是累加
S (N, 1) + S(N, 2) + S(N, 3) + ... + S(N, M)
=S（8,1)+S（8,2)+S（8,3)+S（8,4)
=1+127+966+1701
=2795


9、8个不同的球平均分给4个小朋友，有几种分法  ？
从8个球中取2个分给第1个小朋友，从剩下6个中取2个来分给第二个小朋友。。。
C(8,2)*C(6,2)*C(4,2)*C(2,2) = 2520


10、8个不同的球平均分成4堆，有几种分法  ？
C(8,2)*C(6,2)*C(4,2)*C(2,2) / 4!= 2520/24 =105