排序算法之插入排序

插入排序

插入排序（Insertion Sorting）的基本思想是：把n个待排序的元素看成为一个有序数组和一个无序数组，开始时有序数组中只包含一个元素，无序数组中包含有n-1个元素，排序过程中每次从无序数组中取出第一个元素，把它依次与有序数组的元素进行比较，将它插入到有序数组中的适当位置，使之成为新的有序数组，直到最后无序数组没有元素为止。

算法步骤

• 将待排序数组第一个元素看做一个有序序列，把第二个元素到最后一个元素当成是未排序序列。
• 从头到尾依次扫描未排序序列，将扫描到的每个元素插入有序序列的适当位置。（如果待插入的元素与有序序列中的某个元素相等，则将待插入元素插入到相等元素的后面。）

动图演示

算法实现

for (int end = 1; end < array.length; end++) {
    int cur = end;
    while (cur > 0 && cmp(cur - 1, cur) > 0) {
        swap(cur - 1, cur);
        cur--;
    }
}

算法优化

将上面算法中的交换转为挪动，算法步骤如下：

1. 先将待插入的元素备份
2. 头部有序数组中比待插入元素大的，都朝尾部方向挪动1个位置
3. 将待插入元素放到最终的合适位置

for (int end = 1; end < array.length; end++) {

    int cur = end;
    E curValue = array[cur]; // 备份

    // 大于待插入元素的后移一位
    while (cur > 0 && cmp(array[cur - 1], curValue) > 0) {
        array[cur] = array[cur-1];
        cur--;
    }

    array[cur] = curValue; // 插入
}

再次优化

插入排序的过程中需要查找插入的位置，如果使用从有序数组后面往前遍历，那么查找的时间复杂度为O(n)，既然是查找，可以使用二分查找算法对查找部分逻辑进行优化，使得查找的时间复杂度降为O(logn)。

二分查找

假设在[begin,end)范围内查找某个元素v，mid=(begin+end)/2

• 如果v，去[begin,mid)范围内二分查找
• 如果v>m，去[mid+1,end)范围内二分查找
• 如果v==m，直接返回mid

public static int search(int[] array, int v) {
    int begin = 0;
    int end = array.length;
    while (begin < end) {

        int middle = (begin + end) >> 1;

        if (v < array[middle]) {
            end = middle;
        } else if (v > array[middle]) {
            begin = middle + 1;
        } else {
            return middle;
        }

    }
    return -1;
}

插入排序中的二分查找优化

上面的二分查找中如果存在多个重复的值，返回哪个是不确定的，所以会造成插入排序的不稳定，下面会对二分查找进行优化。

要保证插入排序的稳定性，二分查找返回的插入位置必须为第一个大于v的元素位置，具体算法步骤如下：

假设在[begin,end)范围内查找某个元素v，mid=(begin+end)/2

• 如果v，去[begin,mid)范围内二分查找
• 如果v≥m，去[mid+1,end)范围内二分查找

使用二分查找优化的插入排序代码如下：

for (int end = 1; end < array.length; end++) {

     // 备份
     E v = array[end];

     // 二分查找待插入的位置
     int left = 0;
     int right = end;
     while (left < right) {

         int middle = (left + right) >> 1;

         if (cmp(v, array[middle]) < 0) {
             right = middle;
         } else {
             left = middle + 1;
         }
     }

     // [left, end)元素右移一位
     for (int i = end; i > left; i--) {
         array[i] = array[i - 1];
     }

     // 插入
     array[left] = v;
 }

需要注意的是，使用了二分查找后，只是减少了比较次数，移动次数并没有减少，所以插入排序的平均时间复杂度依然是O(n^2)。

逆序对（Inversion）

数组{2,3,8,6,1}的逆序对为：<2,1>、< 3,1> <8,1> <8,6> <6,1>，共5个逆序对。

插入排序的时间复杂度与逆序对的数量成正比关系，逆序对的数量越多，插入排序的时间复杂度越高。

当逆序对的数量极少时，插入排序的效率特别高，甚至速度比O(nlogn)级别的快速排序还要快。

数据量不是特别大的时候，插入排序的效率也是非常好的。

插入排序的最坏、平均时间复杂度为O(n^2)，最好时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(1)，是一个稳定的排序算法。

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