BZOJ4818: [Sdoi2017]序列计数

BZOJ4818

容斥一下，变成任取不超过 m 的 n 个数且和为 p 的倍数的方案数-任取不超过 m 的 n 个合数且和为 p 的倍数的方案数。
令 fi,j 表示 i 个数，模 p=j 的方案数。
容易写出方程：
for(i=1……n)
for(j=0……p−1)
for(k=1……m)
fi,(j+k)Mod p+=fi−1,j
复杂度上显然不允许
发现 m 其实并没有太大用，有用的是每个数 Mod m 的值。
那么就用 numi 记录，所有数中 Mod p 为 i 的个数。
然后就可以优化成 O(n∗p) 的 dp
for(i=1……n)
for(j=0……p−1)
fi,(j+p)Mod p+=nump∗fi−1,j
复杂度还是太高了。
然后发现这个其实是一个线性齐次递推式。可以矩乘优化嘛。
线性筛素数的标记数组 NotPrime 要开成 bool 的。。开成 int CE了两次。。
然后 O(m+p3∗logn) 28s 给卡过去了。。可能是我打得太丑了 dsy 垫底 QAQ
好像还可以再快一点。管他的。。 A 了就行了。。

【代码】

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define N 20000005
#define Mod 20170408
#define INF 0x7fffffff
using namespace std;
typedef long long ll;

ll read()
{
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}

int n,m,mod,ans;
int p[1270610],num[105];bool Not_Prime[N]={1,1};

class Matrix{
    public:
        int x,y;
        int v[105][105];
}a,b;

Matrix New(int x)
{
    Matrix rtn;rtn.x=mod,rtn.y=mod;
    for(int i=1;i<=mod;i++)
    for(int j=1;j<=mod;j++) rtn.v[i][j]=(i==j)?x:0;
    return rtn;
}

void Get_Prime()
{
    num[1]=1;
    for(register int i=2;i<=m;i++) {
        if(!Not_Prime[i]) p[++p[0]]=i;
        for(register int j=1;j<=p[0]&&i*p[j]<=m;j++) {
            Not_Prime[i*p[j]]=1;num[(i*p[j])%mod]++;
            if(i%p[j]==0) break;
        }
    }
}

Matrix operator *(Matrix A,Matrix B){
    Matrix rtn=New(0);
    for(int i=1;i<=A.x;i++)
    for(int j=1;j<=B.y;j++)
    for(int k=1;k<=A.y;k++)
        rtn.v[i][j]=(rtn.v[i][j]+1LL*A.v[i][k]*B.v[k][j]%Mod)%Mod;
    return rtn;
}

Matrix Qpow(Matrix X,int y)
{
    Matrix rtn=New(1);
    while(y) {
        if(y&1) rtn=rtn*X;
        X=X*X;y>>=1;
    }
    return rtn;
}

int Get_Ans()
{
    a.x=1;a.y=b.x=b.y=mod;
    for(int i=1;i<=mod;i++)
    for(int j=1;j<=mod;j++) 
        b.v[i][j]=num[(i-j+mod)%mod];
    a.v[1][1]=1;for(int i=2;i<=mod;i++) a.v[1][i]=0;
    a=a*Qpow(b,n);
    return a.v[1][1];
}

int main()
{
    n=read(),m=read(),mod=read();
    for(register int i=1;i<=m;i++) num[i%mod]++;
    ans+=Get_Ans();
    for(int i=0;i0;
    Get_Prime();
    ans-=Get_Ans();
    printf("%d\n",(ans+Mod)%Mod);
    return 0;
}