洛谷P2051 [AHOI2009]中国象棋

链接

　　https://www.luogu.org/problem/show?pid=2051

题解

　　很厉害的题目。
　　首先这个问题就是在N*M的网格中放若干个棋子使得每一行每一列至多有2个棋子。
　　考虑xjb暴力，30%的数据 N,M≤6 ，那就每一列压成3进制数，f[i][j]表示做了前i列，每一行的状态是j，0表示这行没有棋子，1表示有1个棋子，2表示有2个棋子，这样压成3进制然后dp转移就可以略了。
　　观察最大的数据 N,M≤100 ，显然不可状压。容易发现我们只关心最后的方案数，而不关心棋子的具体分布，因此状态改为f[i][j][k]，表示做了前i列，目前有j行是没有棋子的，k行有1个棋子。
　　转移有点庞大，直说一个吧，当j>=1时，就是说有j个位置上是0，那么下一行里就可以在对应位置放一个棋子使得这个0变成1，所以转移到f[i+1][j-1][k+1]，而你要从j个0中选择任意一个，所以f[i+1][j-1][k+1]+=f[i][j][k]*j，其余的同理。具体代码中有注释。

代码

//动态规划+排列
#include 
#include 
#define maxn 110
#define mod 9999973ll
#define ll long long
using namespace std;
ll N, M, f[maxn][maxn][maxn], fact[maxn], a[maxn], b[maxn];

void exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
{
    if(!b){x=1,y=0;return;}
    ll xx, yy;
    exgcd(b,a%b,xx,yy);
    x=yy, y=xx-a/b*yy;
}
ll inv(ll a, ll p=mod)
{
    ll x, y;
    exgcd(a,p,x,y);
    return (x+p)%p;
}
void init()
{
    ll i;
    fact[0]=1;
    for(i=1;i<=100;i++)fact[i]=(fact[i-1]*i)%mod;
    for(i=0;i<=100;i++)a[i]=fact[i], b[i]=inv(fact[i]);
}
void dp()
{
    ll i, j, k, t, ans=0;
    f[0][N][0]=1;
    for(i=0;i<=M;i++)
    {
        for(j=0;j<=N;j++)
        {
            for(k=0;j+k<=N;k++)
            {
                t=f[i][j][k]%mod;
                f[i+1][j][k]+=t;
                if(j>=1)f[i+1][j-1][k+1]+=t*j;      //0->1
                if(j>=2)f[i+1][j-2][k+2]+=t*j*(j-1)/2;//0->1,0->1
                if(k>=1)f[i+1][j][k-1]+=t*k;        //1->2
                if(k>=2)f[i+1][j][k-2]+=t*k*(k-1)/2;    //1->2,1->2
                if(j>=1 and k>=1)f[i+1][j-1][k]+=t*j*k; //0->1,1->2
            }
        }
    }
    for(j=0;j<=N;j++)for(k=0;j+k<=N;k++)ans=(ans+f[M][j][k])%mod;
    printf("%lld",ans);
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&N,&M);
    init();
    dp();
    return 0;
}