拉格朗日乘数法求可能极值

条件极值

下面给出关于条件极值的定义
无条件极值：如果对于自变量的限制，只有区域D，而没有其它限制，那么这种类型的极值问题就称为无条件极值问题。
有条件极值：有除了区域D以为的约束条件调制自变量，则称为有条件极值问题。

拉格朗日乘数法

拉格朗日乘数法是一个不需要将隐函数显化而直接求条件极值的方法。
推导如下：
我们假设函数z=f(x,y),对于该函数的限制条件为φ(x,y)=0；
假设函数z在(x0,y0)处取得极值，(x0,y0)在某一邻域内f(x,y)和φ(x,y)具有一阶连续偏导数，并且φy（x0，y0）!=0,由隐函数存在定理可知，方程φ(x,y)=0，可以确定一个连续且具有连续导数的函数t(x)，将其带入z=f(x,y)得到z=f(x,t(x));
由一元函数取得极值的必要条件可得：dz/dx|(x=x0)=fx(x0,y0)+fy(x0,y0)dy/dx|(x=x0)=0;
对φ(x,y)=0用隐函数求导得到dy/dx|x=x0=(-φx(x0,y0))/(φy(x0,y0))，将该式子带入到dz/dx中得到：
fx(x0,y0)-fy(x0,y0)*φ(x0,y0)/(φy(x0,y0))=0;
我们令fy(x0,y0)/φy(x0,y0)=-入，
即可得到拉克朗日数乘法的公式
F’x=ƒ’x(x,y)+λφ’x(x,y)=0
F’y=ƒ’y(x,y)+λφ’y(x,y)=0
F’λ=φ(x,y)=0
将三个方程联立，即可解出可能为极值点的点。