贪心算法—活动选择问题

问题描述：

假定有一个n个活动的集合S={a1,a2,......an}，这些活动使用同一个资源（如一个阶梯教室），而这个资源在某个时刻只能供一个活动使用。每个活动有一个开始时间si和结束时间fi，其中0<=si<=fi<∞。如果被选中，任务ai发生在半开区间[si,fi)期间。如果两个活动ai和aj满足其两个区间不重叠，则称它们是兼容的。在活动选择问题中，我们希望选出一个最大兼容活动集。

给出一个样例集合S：

i    1    2    3    4    5    6    7    8    9    10    11

si  1    3    0    5    3    5    6    8    8     2     12

fi   4    5    6    7    9    9   10  11  12   14    16

问题的考虑：

虽然该问题是一个经典的贪心算法的样例问题，但是考虑这件事还是可以从动态规划的角度去入手。

动态规划的角度：

动态规划即要找到活动选择问题的最优子结构，若用Sij表示在ai结束之后开始，且在aj开始之前结束的那些活动的集合。假定我们希望求Sij的一个最大的相互兼容的活动子集，进一步假定Aij就是这样一个子集，包含活动 ak。由于最优解包含活动ak，，我们得到两个子问题：寻找Sik中的兼容活动（即在ai结束之后开始且在ak开始之前结束的那些活动）以及寻找Skj中的兼容活动（在ak结束之后开始且在aj开始之前结束的那些活动）。令Aik=Aij∩Sik和Akj=Aij∩Skj，这样Aik包含Aij中那些在ak开始之前结束的活动，Akj包含Aij中那些在ak结束之后开始的活动。因此，我们有Aij = Aik∪{ak}∪Akj，而且Sij中最大兼容任务子集Aij包含|Aij|=|Aik|+|Akj|+1个活动。这一过程可以用剪切—粘贴法去证明，这里不再赘述。

这样刻画活动选择问题的最优子结构，就可以用动态规划方法来求解了，如果用c[i,j]表示集合Sij的最优解的大小，则可得递归式：

c[i,j]=c[i,k]+c[k,j]+1

当然，我们并不知道Sij的最优解包含活动ak，所以需要考察Sij中的所有活动，寻找哪个活动可以获得最优解，于是：

c[i,j]=max{c[i,k]+c[k,j]+1}（ak∈Sij）

接下来就可以用自带备忘机制的递归算法或者自底向上法去求解。但是在选择子问题的时候，我们并不是真不知道选择哪一个活动加入到最优解中去，下面就是贪心算法的说明。

贪心选择：

对于该问题，直观上我们应选择这样一个活动，选出它后剩下的资源能应能尽量多的被其他任务所用。现在考虑可选的活动，其中必然有一个最先结束。因此直觉告诉我们，应该选择S中最早结束的活动，因为它剩下的资源可供它之后尽量多的活动使用。换句话说，由于活动已经按照结束时间单调递增的顺序排序（如果没有的话，我们也可以用nlogn的时间去将它排序），贪心选择就是活动a1.

当做出贪心选择后，只剩下一个子问题求解：寻找在a1结束后开始的活动。（因为a1是最早结束的活动，因此要使与它兼容的活动都必须在a1结束之后开始）而且之前，我们已经证明活动选择问题具有最优子结构性质，那么原问题的最优解由活动a1及其子问题S1中的活动组成。

现在剩下最后一个大问题：我们的贪心选择——最早结束的活动——总是最优解的一部分吗？

答案是肯定的，给出这个定理： 考虑任意非空子问题Sk，令am是Sk中结束时间最早的活动，则am在Sk的某个最大兼容活动子集中。

因此该活动我们可以用贪心算法来解决，这里给出迭代贪心算法的代码，已在VS2015通过该样例测试：

#include
#include
using namespace std;

typedef struct array1 {                 //用来记录和输出活动
	int start;
	int finish;
};

void greedy_activity_selector(int *s, int *f) {
	int n = sizeof(s) / sizeof(s[0]);
	struct array1 a[11];
	a[0].start = s[0];                 //由排序知必然可以包含第一个结束的活动，因此选择活动a1（即a[0])
	a[0].finish = f[0];
	int j;
	for (j = 1; j <= 10;++j) {         //将结构体数组中除a[0]外每个元素赋值为0
		a[j].start = 0;
		a[j].finish = 0;
	}
	int k = 1, m = 2; 
	for (m; m <= 10;m++)                //贪心选择
		if (s[m] >= f[k]) {
			a[m].start = s[m];
			a[m].finish = f[m];
			k = m;
		}
	int i;
	cout << "活动最大兼容集合为：" << endl;
	for (i = 0; i <= 10; ++i)
		if (a[i].start != 0) {
			cout <<'a'<< i+1 << ':' << a[i].start <<' '<< "to" <<' '<< a[i].finish << endl;
		}
		else
			continue;
}

int main() {
	int s[11] = { 1,3,0,5,3,5,6,8,8,2,12 };
	int f[11] = { 4,5,6,7,9,9,10,11,12,14,16 };
	greedy_activity_selector(s, f);
	system("pause");
	return 0;
}

运行结果：