数字电子技术逻辑运算

第一章 数制与编码

第二章 基本逻辑运算与集成逻辑门

基本逻辑运算及实现这些基本逻辑运算的集成电路——集成逻辑门。
“逻辑”一词首先见于逻辑学。逻辑学属于哲学领域，它研究逻辑思维推理的规律。逻辑代数是逻辑学的基本上发展的一门学科，它采用一套符号来描述逻辑思维，并将复杂的逻辑问题抽象为一种简单的符号演算，拜托了冗繁的文学描述。

2.1 基本概念

2.1.1逻辑变量与逻辑函数

所有逻辑命题必须满足二值律，逻辑命题只有两种逻辑值，不是逻辑真就是逻辑假，不存在第三种似是而非的值。

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2.1.2真值表

由于逻辑变量只有两种取值0或1，因此，可以用一种很简单的表格来描述函数的全部真、伪关系，所以称这种表为真值表。
真值表的左侧一栏为逻辑变量的所有组合，右侧一栏为所得真值表的结果
表2-1 真值表格式

组合	A	B	C	D	F
1	0	0	0	0	0
2	0	0	0	1	0
3	0	0	1	0	0
4	0	0	1	1	0
5	0	1	0	0	0
6	0	1	0	1	0
7	0	1	1	0	0
8	0	1	1	1	0
9	1	0	0	0	0
10	1	0	0	1	0
11	1	0	1	0	0
12	1	0	1	1	0
13	1	1	0	0	0
14	1	1	0	1	0
15	1	1	1	0	0
16	1	1	1	1	1

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2.2 三种基本逻辑运算

在实际中可能遇到的逻辑问题是千变万化的，有的数字系统如计算机还十分复杂。但仔细分析，他们可能用三种逻辑运算综合起来的。这三种基本运算就是：逻辑乘——“与运算”；逻辑加——“或运算”；逻辑非——“非运算”。
在这三种基本的逻辑运算的基础上将扩展到：与非、或非、 与或非 、异或 和 同或 几种常用的复合逻辑。上述逻辑运算的电路又称为逻辑电路，常常成为门电路。

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2.2.1与逻辑（与运算、逻辑乘）

与逻辑（逻辑乘）指出，必须所有前提条件同时具备，结论成立，也就是全为真（1）总的结果为真（1）。

运用“与”逻辑式，可将两逻辑变量的运算几多表示如下：
0 · 0 = 0 ； 0 · 1 = 0 ； A · 0 = 0 ；A· 1 = A；
1 · 0 = 0 ； 1 · 1 = 1 ； A · A = A ；A· $\overline{A}$ = 0；
总结：逻辑与的时候遇到0结论为0

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2.2.2 或逻辑（或运算、逻辑加）

“或”运算表示的逻辑关系式：只要一个前提条件具备了，结论就成立。

0 + 0 = 0 ； 0 + 1 = 1 ； A + 0 = A ；A+ 1 = 1；
1 + 0 = 1 ； 1 + 1 = 1 ； A + A = A ；A + $\overline{A}$ = 1；
总结：逻辑或的时候遇到1结论为1

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2.2.3 非逻辑（非运算、逻辑反）

“非”运算表示否定，它是逻辑运算中一种特有的形式，在逻辑代数中起着十分重要的作用。

2.3 常用额复合逻辑

与、或、非是逻辑代数中最基本的三种运算，任何复杂的逻辑函数都可以通过与、或、非的组合构成。我们称与、或、非是一个完备集。

2.3.1 “与非”逻辑

“与非”逻辑式“与”逻辑和“非”逻辑的组合，先“与”再“非”。
与非逻辑表达式：F = $\overline{A\cdot B}$

2.3.2 “或非”逻辑

“或非”逻辑式“或”逻辑和“非”逻辑的组合，先“或”后“非”。
或非逻辑表达式F = $\overline{A+B}$

2.3.3 “与或非”逻辑

“与或非”逻辑式“与”、“或”、“非”三种基本逻辑组合先“与”再“或”最后“非”。
与或非表达式：或非逻辑表达式F = $\overline{AB+CD}$

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2.3.3 “异或逻辑”与“同或逻辑”

1. 异或
   “异或” 逻辑是指输入在二变量的情况下，输入两变量相异 时输出为“1”；相同时输出为“0”。
   异或逻辑表达式为：F_{1 = A$\overline{B}$ + $\overline{A}$B = A ⊕ B}
   

2. 同或
   “同或” 逻辑是指输入在两变量的情况下，输入两变量相同时输出为“1”;相异时输出为“0”。
   异或逻辑表达式为：F_{2 = AB + $\overline{A}$ $\overline{B}$ = A ⊙ B}
   

3. “异或逻辑” 和 “同或逻辑” 互为反函数
   A ⊕ B = $\overline{A\odot B}$； A ⊙ B = $\overline{A\oplus B}$
   $\overline{A}$ B + A $\overline{B}$ = ~ ($\overline{A}$ $\overline{B}$ +A B)
   $\overline{A}$ $\overline{B}$ + A B = ~($\overline{A}$ B + A $\overline{B}$)

4. 奇数个 “1” 相异或结果为1；偶数个1异或结果为0。通过此特性可以进行组成奇偶校验的检测电路。
   

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2.4集成逻辑门电路

用以实现基本逻辑运算和符合逻辑运算的单元电路称为门电路。
把若干个有源器件和无源器件及其连线，按照一定的功能要求，制作在同一块半导体基片上，这样的产品叫做集成电路。若它完成的功能是逻辑功能或数字功能，则称为逻辑集成电路或数字集成电路。最简单的数字集成电路数集成逻辑门。
集成逻辑门，按照其组成的有源元件的不同可分为两大类：一类是双极性晶体管逻辑门；另一类是单极性绝缘栅场效应管逻辑门，简称MOS门。

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2.4.1 TTL集成逻辑电路

TTL电路存在最大的问题就是功耗大。因此它只能制作小规模集成电路（Small Scale Integration，简称 SSI，其中仅包含10个以内的门电路）和中规模集成电路（Medium Scale Integration，简称 MSI，其中包含10~100个门电路），而 无法制 作成大规模集成电路（Large Scale Integration，简称 LSI ，其中包含100~10000个门电路）和超大规模集成电路（Very Large Scale Integration，简称 CLSI ,其中包含10000个门电路以上的电路）。

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2.4.2 CMOS集成逻辑电路

CMOS逻辑门电路是在TTL电路之后出现的一种广泛应用的数字集成器件。按照器件结构的不同形式，可以分为NMOS、PMOS、CMOS三种逻辑门电路。
几乎所有的超大规模存储器以及PLD（可编程逻辑器件）器件都采用CMOS工艺制造，且费用较低。

2.4.3 集成逻辑门电路的特性与参数

1. 传输特殊性
   传输特性是指其电压u_o。随输入电压u_i变化的曲线，反相器的电压传输特性。
2. 输出高电平U_OH、输出低电平U_OL
   对于典型功过电压为5V的74HC系列的CMOS逻辑电路，U_OH = 5V， U_OL = 0V。
3. 噪声容限
   噪声容限表示门电路的抗干扰人力。
4. 传输延迟时间
   传输延迟时间是表征门电路开关速度的参数，它说明门电路大脉冲波形的作用下，其传输波形相对于输入波形延迟了多少时间。
   
5. 功耗
   功耗是门电路的重要参数之一。功耗有 静态功耗 和 动态功耗 。所谓静态功耗，指的是当电路的输出没有状态转换时的功耗。
6. 延时——功耗积
7. 扇入数和扇出数
   门电路的扇入系数取决于它的输入端和个数。
   门电路的删扇出数要考虑两种情况，一种是负载电路从驱动门电路流向外电路，称为拉电流负载；另外一种情况是负载电路从电路流入驱动门，称为灌电流负载。

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2.4.4 开路门与三态门

1.开路门
开路门有TTL的集电极开路门（OC门）和CMOS的漏极开路门（OD）。

2.三态门
三态门的出现，是为了适应数字系统采用总线结构的需要。三态门具有三种状态，除了高电平（“1”）、低电平（“0”）外，还有高阻态。

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2.4.5 集成逻辑门在使用的实际问题

1. 接口电路
   接口电路的作用是通过逻辑电平的转换， 把不同的逻辑值的电路（如TTL和CMOS门电路）连接起来；或者用来驱动集成电路本身驱动不了的大电流及大功率负载；也可用来切断干扰源通道，增强矿干扰能力。
   
2. 抗干扰措施
   利用逻辑门电路（CMOS或TTL）做具体的电路设计是，还应当注意下列几个实际问题：
   1）多余输入端的处理措施
   集成逻辑门电路子使用时，一般不让多余的输入端悬空，以防止干扰信号输入。
   2）去耦合滤波电容
   数字电路或系统往往有多片逻辑门电路构成，由一公共的直流电源供电。这种状态是非理想的，一般由整流稳压电路供电，具有一定的内阻抗。当数字电路再高、低状态之间交替变换时，产生较大的脉冲电流或尖峰电流，当它们流经公共的内阻抗时，必将产生相互影响，甚至式逻辑功能发生错乱。一种常用的处理方法是采用去耦滤波电容，用10~100μF的大电容接在直流电源与地之间，滤除干扰信号。除此之外，在每一集成芯片的电源与地之间接一个0.1μF的电容器以滤除开关噪声。
   3）接地和安装工艺
   正确的接地技术对于降低电路噪声是很重要的。方法是将电源地域信号地分开，现将信号地汇集在一点，然后再将二者用最短的导线连在一起，以免含有多种脉冲波形（函尖峰电流）的大电流引导某数字器件的额输入端而破坏系统正常的逻辑功能。此外，当系统中同时由模拟和数字两种器件时，同样需将二者的第分别连在一起，然后再选用一个合适的共同连接点，以免除二者之间的影响。必要时，也可以设计模拟和数字两块电路板，个备直流电源，然后将二者的地恰当的连接在一起。在印制电路板的设计或安装中，要注意连线尽可能短，以减少接线电容产生寄生反馈而引起的寄生振荡。
   此外CMOS期间在使用和储藏过程中要注意静电感应导致损伤的问题。静电静电屏蔽是常用的防护措施。

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第三章 布尔代数与逻辑函数化简

布尔代数又叫逻辑代数或开关代数，它是英国人乔治·布尔（G·Boole）与1849年首建立的。

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3.1.1 基本公式

公式名称	逻辑与	逻辑或
1. 0-1律	A · 0 = 0	A + 1 = 1
2. 自等律	A · 1 = A	A + 0 =A
3. 等幂律	A · A = A	A + A = A
4. 互补律	A · $\overline{A}$ = 0	A + $\overline{A}$ = 1
5. 交换律	A · B = B · A	A + B = B + A
6. 结合律	A · (B · C) = (A · B) · C	A + (B + C) = (A + B) + C
7. 分配律	A(B + C) = AB + AC	A + BC = (A + B)(A + C)
8. 吸收律(1)	(A + B)(A + $\overline{B}$) = A	AB + A$\overline{B}$ = A
9. 吸收律(2)	A(A + B) = A	A + AB = A
10. 吸收律(3)	A($\overline{A}$ + B) = AB	A + $\overline{A}$B = A + B
11. 多余项定律	(A + B)($\overline{A}$ + C)(B + C) = (A + B)($\overline{A}$ + C)	AB + $\overline{A}$C + BC = AB + $\overline{A}$C
12. 求反律	$\overline{AB}$ = $\overline{A}$ + $\overline{B}$	$\overline{A+B}$ = $\overline{A}$ · $\overline{B}$
13.否否律	~($\overline{A}$) = A

吸收率(1)的证明： AB + A$\overline{B}$ = A(B + $\overline{B}$)；（因为B + $\overline{B}$ = 1)
吸收率(2)的证明： A + AB = A(B + 1)；(因为 B + 1 = 1)
吸收率(3)的证明： A + $\overline{A}$B = A + B； 引用 分配率
多余项证明： AB + $\overline{A}$C + BC = AB + $\overline{A}$C + BC(A + $\overline{A}$) = AB + $\overline{A}$C + ABC + $\overline{A}$BC = AB(1 + C) = $\overline{A}$C(1 + B) = AB + $\overline{A}$C;

求反律又称摩根定律

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3.1.2 基本法则

1. 带入法则
   逻辑等式中的任何变量A，都可以用另一个函数Z代替，等式仍然成立。
   代入法则可以扩大基本同时的应用范围
   $\overline{A1+A2+A3+\dots \dots +An}$ = $\overline{A1}$ · $\overline{A2}$ · $\overline{A3}$ · …… · $\overline{An}$
   $\overline{A1\cdot A2\cdot A3\cdot \dots \dots \cdot An}$ = $\overline{A1}$ + $\overline{A2}$ + $\overline{A3}$ + …… + $\overline{An}$

2. 对偶法则
   对于任何一个逻辑表达式F，如果将其中的“ · ”换成“ + ”，“ + ”换成“ · ”，“ 1 ”换成“ 0 ”， “ 0 ”换成“ 1 ”，并保持原先的逻辑优先级，变量不变，两变量以上的非号不动，则可能原函数F的对偶式G， 且F和G互为对偶式。 则通过对偶式之前表中的基本公式记忆一般即可，另一半可通过对偶式进行求出。注意在求对偶式时保持原式的逻辑优先级关系，应正确使用括号，否则要发生错误。
   如：AB + $\overline{A}$C
   其对偶式为：(A + B) · ($\overline{A}$ + C)

3. 反演法则
   由原函数求反函数，称为反演或求反。摩尔根定律是进行反演的重要工具。多次应用摩尔根定律，可以求出一个函数的反函数。

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3.1.2 基本公式的应用

逻辑函数的形式是多种多样的，一个逻辑问题可以用多种形式的逻辑函数来表示，每一种函数对应一种逻辑电路。逻辑函数的表达形式通常分为五种：与或表达式、与非—与非表达式、与或非表达式、或与表达式、或非—或非表达式。

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3.2逻辑函数的代数化简

逻辑函数的化简，在逻辑设计中十分重要的课题。化简的有 代数化简法 和 卡诺图法 两种。

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3.2.1 逻辑函数与逻辑图

逻辑图与逻辑函数有直接关系。函数式越简单，实现该逻辑函数式所需要的的门数就越少，这样既可节省材料，且焊点少，又可提高电路的可靠性。

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3.2.2 逻辑函数的化简原则

逻辑函数通常遵循以下几条原则：

1. 逻辑电路所用的每最少；
2. 各个门的输入端要少；
3. 逻辑电路所用的级数要少；
4. 逻辑电路能可靠地工作。

3.2.3与或逻辑函数的简化

1. 应用吸收率(1)（AB + A$\overline{B}$ = A）
2. 应用吸收率(2)(3) （A + AB = A ; A+$\overline{A}$B = A + B）
3. 应用多余项定理（AB + $\overline{A}$C + BC = AB + $\overline{A}$C）
4. 综合应用举例
   
5. 拆项法
6. 添项法

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3.3 卡诺图化简

图形化简逻辑函数是1952年由维奇（W.Veitch）首先提出来的，1953年卡诺（Kar-naugh）进行了更新系统、全面的阐述，故又称卡诺图法。

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3.3.1 卡诺图化简的基本原理

逻辑相邻项：两个相同变量的逻辑项，只有一个变量取值不同，我们称它为逻辑相邻项。利用吸收率。

3.3.2 逻辑函数的标准式——最小项

1. 最小项的标准式的定义
   最小项标准式是以 ***“与或”***形式出现的标准式。
   （1）最小项：对于一个 给定变量数组 的逻辑函数，所有变量参加 “与” 的项叫做最小项。在一个最小相中，每个变量只能以 原变量 或 反变量 出现一次。
   （2）最小项标准式：全是由最小项组成的 “与或” 式，便是最小项的标准式（不一定由全部最小项组成。）
   例如：F(A B C) = $\overline{A}$ $\overline{B}$ $\overline{C}$ + $\overline{A}$ $\overline{B}$ C + $\overline{A}$ B $\overline{C}$ + $\overline{A}$ B C + A B C
   最小项标准式具有唯一性。任何逻辑函数的最小项标准式只有一个，它和逻辑函数的真值表有着严格的对应关系，而函数的一般式具有多样性。
2. 由一般式获取最小项标准式
   一般式转换最小项方法：
   （1）代数法。对逻辑函数的一般式采用增项法。
   （2）真值法。将原逻辑函数A、B、C取不同值组合起来，得其真值表，而该逻辑函数将是F=1对应的那些输入变量相或而成的。
   
   最小项编号：
   
3. 最小项的性质
   （1）全部最小项的和为1；
   （2）任意两个不同的最小项的积为0；
   （3）n变量有2ⁿ项最小项，且对每一个最小项而言，有n个最小项与之相邻。

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3.3.3 卡诺图结构

卡诺图结构特点是需要需要保证逻辑函数的 逻辑相邻关系，即图上的 何相邻关系。卡诺图上每一个小方格最小项。为保证上述相邻关系，每相邻放个的变量组合之间只允许一个变量值不同。为此卡诺图的变量标注采用 循环码。
4变量卡诺图：

5变量卡诺图：

在卡诺图中若为n变量的卡诺图，则任意一个最小值有n个最小值与之相邻。例如5变量的卡诺图中的m₇，与之相邻的最小量有m₃、m₅、m₆、m₁₅、m₂₃。因为卡诺图是平面结构，从位置关系上开m₇与m₂₃并不是相邻关系，但是m₇与m₂₃是关于2³三次对称轴对称关系，所以m₇与m₂₃是属于相邻关系。

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2.3.4 逻辑函数的卡诺图表示法

逻辑函数由最小项组成，则可以直接用卡诺图对应的方格中填上1，其余填0。
例如：F = ABC + AB$\overline{C}$ + A$\overline{B}$C + $\overline{A}$ $\overline{B}$C = m₇ + m₆ + m₅ + m₁
用卡诺图表示为：
若逻辑函数不是有最小项组成，且包括其余项：
例如：F = B$\overline{C}$ + C$\overline{D}$ + $\overline{B}$CD + $\overline{A}$ $\overline{C}$D + ABCD
用卡诺图表示方法，首先将各项分开以次用卡诺图表示，然后在合起来。
B$\overline{C}$：在B = 1，C = 0对应的方格（不管A，D）中填1，即m₄、m₅、m₂、m₁₃；
C$\overline{D}$：在C = 1，D = 0对应的方格（不管A，B）中填1，即m₂、m₆、m₁₀、m₁₄；
$\overline{B}$CD：在B = 0，C = 1，D = 1，对应的方格（不管A）中填1，即m₃、m₁₁；
$\overline{A}$ $\overline{C}$D：在A = 0，C = 0，D = 1，对应的方格（不管B）中填1，即m₁、m₅；
ABCD：即m₅。
即用卡诺图表示形式如下图：

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3.3.5 相邻项合并规律

1. 两相邻项可合并为一项，消去一个取值不同的变量，保留相同变量，标注为1——原变量，0——反变量；
2. 四相邻项可合并为一项，消去两个取值不同的变量，保留相同变量，标注为1——原变量，0——反变量；
3. 八相邻项可合并为一项，消去三个取值不同的变量，保留相同变量，标注为1——原变量，0——反变量；
   总结：合并的规律为2ⁿ个逻辑相邻项，不满足2ⁿ关系的最小或不组成方形不可合并，则2ⁿ个相邻最小项可消除n个不同的变量。

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3.3.6

运用最小项标准式，在卡诺图上进行逻辑函数化简，得到的基本形式是 与或逻辑。其步骤如下：

1. 将原始函数用卡诺图表示；
2. 根据最小项合并规律画出卡诺图圈，圈住全部为 “1” 的方格；
3. 将上述全部卡诺图圈的结果向 “或” 即得化简后的新函数；
4. 有逻辑门电路，组成逻辑电路图。

根据最小项的合并规律我们知道，卡诺图圈越大，经化简消去的变量越多，结果越简单。每个卡诺图就是一个 “与” 项。显然，化简后看过全越少，电路越简单。还需要指出的是，如果卡诺圈的 “1” 方格均被卡诺圈圈过，则该卡诺圈是多余项，组成新的函数项就是多余项。函数化简时，这样的卡诺圈可以省略。为了避免圈的多余项，应保证每个卡诺圈内至少有一个 **“1”**方格未被别的卡诺圈圈过。

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3.3.7其他逻辑函数式的化简

常用的有五种形式，与或式仅是其中一种。

1. 与非逻辑形式
2. 或与逻辑形式
3. 或非逻辑形式
4. 与或非逻辑形式

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3.3.8无关项及其应用

逻辑问题分 完全描述 和 非完全描 述两种。
与函数无关的最小项称为最小项，有时又称为禁止项、约束项、任一项。
函数中只有部分最小项有关 ，而与另一些最小项无关，这下无关的最小项通常用 φ 或者 X 表示。
无关项的处理是任意的，可以认为是 “1” ，也可以认为是 “0” 。对于含有无关项的逻辑函数的化简，要考虑到无关项，当它对函数化简有利时，就认为它是 “1” ，反之则认为是 “0” 。

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*3.3.9 有原变量无反变量的逻辑函数的化简

个人感觉3.3.9节化简方式非常不错。




重点关注例题35

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第四章 组合逻辑电路

数字电路可分为组合逻辑电路和时序电路两大类。组合逻辑电路即电路的输出线号是该时刻输入信号的函数，与该时刻以前的输入状态无关。这种电路 无记忆功能，无反馈回路 。
由于输入只有0、1两种状态，因此n个输入量有2ⁿ种输入状态的组合，若把每种输入状态组合下的输出状态列出来，就形成了描述逻辑电路的真值表。
在实际工作中，我们会碰到两种情况：逻辑 电路分析 和 逻辑电路设计 。

1. 逻辑电路的分析
   逻辑电路的分析，就是对已知的逻辑电路，用逻辑函数来描述，并以此列出它的真值表，确定其功能。在进行产品 仿制 和 维修 数字设备时，分析过程显然是十分重要的。同时，通过逻辑分析，还可以发现原设计产品的不足之处，然后加以改进。
2. 逻辑电路的设计
   逻辑电路设计又称为逻辑电路综合。其任务是，根据实际中提出的逻辑功能，设计出实现该逻辑功能的电路。

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第五章 触发器

第六章 时序逻辑电路

第七章 脉冲波形的产生于变换

第八章 数/模与模/数转换

第九章 半导体存储器和可编程逻辑器件