区间最大公约数

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title: 区间最大公约数
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• 线段树
• 最大公约数
  categories:
• 数据结构
• 线段树
  date: 2020-04-13 15:21:56

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题意：区间加，询问区间最大公约数

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思路

• 区间加= = 差分序列= =单点修改=pushup
• 询问区间最大公约数，gcd(左区间，右区间)
• (X,Y,Z)的最大公约数，可以直接求
• 区间最大公约数的一个性质：（X,Y,Z)=(X,Y-X,Z-Y)
• Y-X,Z-Y,是原数组的差分
• 所有，（X,Y,Z) 的gcd=(X,Y-X,Z-Y):
  • X=是差分的前缀和
  • 后面的，是差分序列的区间最大公约数
• 所以，线段树维护一个差分序列
  • 区间修改 = 单点修改了
  • 区间查询最大公约数也可以在差分序列上求
  • 需要节点加一个变量统计前缀和 sum

代码：

• 查询直接返回一个node节点，方便写

#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 500010;

int n, m;
LL w[N];
struct Node
{
    int l, r;
    LL sum, d;
}tr[N * 4];

LL gcd(LL a, LL b)
{
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

void pushup(Node &u, Node &l, Node &r)
{
    u.sum = l.sum + r.sum;
    u.d = gcd(l.d, r.d);
}

void pushup(int u)
{
    pushup(tr[u], tr[u << 1], tr[u << 1 | 1]);
}

void build(int u,int l,int r)
{
    if(l==r)
    {
         LL b = w[r] - w[r - 1];
        tr[u] = {l, r, b, b};;
    }
    else{
        tr[u].l = l,tr[u].r = r;
        int mid = l+r >>1;
        build(u<<1,l,mid);
        build(u<<1|1,mid+1,r);
        pushup(u);
    }
}
void modify(int u, int x, LL v)
{
    if (tr[u].l == x && tr[u].r == x)
    {
        LL b = tr[u].sum + v;
        tr[u] = {x, x, b, b};
    }
    else
    {
        int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
        if (x <= mid) modify(u << 1, x, v);
        else modify(u << 1 | 1, x, v);
        pushup(u);
    }
}

Node query(int u, int l, int r)
{
    if (tr[u].l >= l && tr[u].r <= r) return tr[u];
    else
    {
        int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
        if (r <= mid) return query(u << 1, l, r);
        else if (l > mid) return query(u << 1 | 1, l, r);
        else
        {
            auto left = query(u << 1, l, r);
            auto right = query(u << 1 | 1, l, r);
            Node res;
            pushup(res, left, right);
            return res;
        }
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%lld", &w[i]);
    build(1, 1, n);

    int l, r;
    LL d;
    char op[2];
    while (m -- )
    {
        scanf("%s%d%d", op, &l, &r);
        if (*op == 'Q')
        {
            auto left = query(1, 1, l), right = query(1, l + 1, r);
            printf("%lld\n", abs(gcd(left.sum, right.d)));
        }
        else
        {
            scanf("%lld", &d);
            modify(1, l, d);
            if (r + 1 <= n) modify(1, r + 1, -d);
        }
    }

    return 0;
}