扩展欧几里得算法
欧几里得算法
欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。基本算法：设a=bq+r，其中a，b，q，r都是整数，则gcd(a,b)=gcd(b,r)，即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。
证明引自离散数学课本：
先看一个整除定理与推论：
接下来是证明过程：
代码实现：
int gcd(int a,int b)
{
if(b==0)
{
return a;
}
return gcd(b,a%b);
}现在我们知道了 a 和 b 的最大公约数是 gcd ，那么，我们一定能够找到这样的 x 和 y ，使得: a*x + b*y = gcd 这是一个不定方程（其实是一种丢番图方程），有多解是一定的，但是只要我们找到一组特殊的解 x0 和 y0 那么，我们就可以用 x0 和 y0 表示出整个不定方程的通解：
x = x0 + (b/gcd)*t
y = y0 – (a/gcd)*t
为什么不是：
x = x0 + b*t
y = y0 – a*t
那是因为：
b/gcd 是 b 的因子， a/gcd 是 a 的因子是吧？那么，由于 t的取值范围是整数，你说 (b/gcd)*t 取到的值多还是 b*t 取到的值多？同理，(a/gcd)*t 取到的值多还是 a*gcd 取到的值多？那肯定又要问了，那为什么不是更小的数，非得是 b/gcd 和a/gcd ？
注意到：我们令 B = b/gcd ， A = a、gcd ， 那么，A 和 B 一定是互素的吧？这不就证明了 最小的系数就是 A 和 B 了吗？
现在，我们知道了一定存在 x 和 y 使得 ： a*x + b*y = gcd ， 那么，怎么求出这个特解 x 和 y 呢？只需要在欧几里德算法的基础上加点改动就行了。
扩展欧几里得算法
扩展欧几里德算法是欧几里得算法的扩展。
定理：若a和b为正整数，则存在整数x,y使得gcd(a,b)=ax+by;
换句话说gcd(a,b)可以表示为a,b的整洗数线性组合，例如：gcd(6,14)=2,而2=(-2)*6+1*14.
已知整数a、b，扩展欧几里得算法可以在求得a、b的最大公约数的同时，能找到整数x、y（其中一个很可能是负数），使它们满足贝祖等式ax+by=gcd(a,b).有两个数a,b，对它们进行辗转相除法，可得它们的最大公约数,然后，收集辗转相除法中产生的式子，倒回去，可以得到ax+by=gcd(a,b)的整数解。
用类似辗转相除法，求二元一次不定方程252x+198y=18的整数解。
252=1*198+54
198=3*54+36
54=1*36+18
36=2*18
用倒数第二个除法（正数第三个），可以把gcd(254,198)=18表示为54和36的线性组合，即
18=54-1*36
第二个除法说明：
36=198-3*54
将36的这一表达式带入前一等式，可以把18表示为54和198的线性组合，也就是：
18=54-1*36=54-1*（198-3*54）=4*54-1*198.
第一个除法说明：
54=252-1*198.
带入上面等式：
18=4*（252-1*198）-1*198=4*252-5*198.
结论问题得解：x=4，y=-5.
基本算法：对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。
欧几里德算法停止的状态是： a= gcd ， b = 0 //1
推理2，ab!=0时
设 ax1+by1=gcd(a,b);
bx2+(a%b)y2=gcd(b,a%b);
根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a%b);
则:ax1+by1=bx2+(a%b)y2;
即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;
令a/b=k;
得ax1+by1=bx2+(a-k*b)y2=ay2+b(x2-k*y2)=ay2+b(x2-a/b*y2);
根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2; //2
这样我们就得到了求解 x1,y1的方法：x1，y1的值基于 x2，y2.
上面的思想是以递归定义的，因为 gcd不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。
扩展欧几里德的递归代码：
#include
#include
using namespace std;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(b==0)
{ //1的情况
x=1;
y=0;
return a;
}
int r=exgcd(b, a%b, x, y);
int t=y;
y=x-(a/b)*y; //2的情况
x=t;
return r;
}
int main()
{
int x,y;
exgcd(252,198, x, y);
cout<<"252x+198y=18的一个整数解为:"< 扩展欧几里德的非递归代码：
先来理解下面推的公式。
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
int xi_1,yi_1,xi_2,yi_2;
xi_2=1,yi_2=0;
xi_1=0,yi_1=1;
x=0,y=1;
int r=a%b;
int q=a/b;
while (r)
{
x=xi_2-q*xi_1;
y=yi_2-q*yi_1;
xi_2=xi_1;
yi_2=yi_1;
xi_1=x,yi_1=y;
a=b;
b=r;
r=a%b;
q=a/b;
}
return b;
}扩展欧几里德算法的应用
扩展欧几里德算法的应用主要有以下三方面：
（1）求解不定方程；
（2）求解模的逆元；
（3）求解模线性方程（线性同余方程）；
一、解不定方程
对于不定整数方程pa+qb=c，若 c mod gcd(p, q)=0,则该方程存在整数解，否则不存在整数解。
上面已经列出找一个整数解的方法，在找到p * a+q * b = gcd(p, q)的一组解p0,q0后，p * a+q * b = gcd(p, q)的其他整数解满足：
p = p0 + b/gcd(p, q) * t
q = q0 - a/gcd(p, q) * t(其中t为任意整数)
至于pa+qb=c的整数解，只需将p * a+q * b = gcd(p, q)的每个解乘上 c/Gcd(p, q) 即可。
在找到p * a+q * b = gcd(a, b)的一组解p0,q0后，应该是得到p * a+q * b = c的一组解p1 = p0*(c/Gcd(a,b)),q1 = q0*(c/Gcd(a,b))，
p * a+q * b = c的其他整数解满足：
二、求乘法逆元
如果a×b≡1 mod n，则a、b互为乘法逆元（也就是(a*b)%n=1）。
若a与b不互素，则a模b没有乘法逆元！
一般，我们能够找到无数组解满足条件，但是一般是让你求解出最小的那组解，怎么做？我们求解出来了一个特殊的解 x0 那么，我们用 x0 % m其实就得到了最小的解了。为什么？
可以这样思考：
x 的通解不是 x0 + n*t(n>=0的整数) 吗？
那么，也就是说， a 关于 m 的逆元是一个关于 m 同余的，那么根据最小整数原理，一定存在一个最小的正整数，它是 a 关于m 的逆元，而最小的肯定是在（0 , m）之间的，而且只有一个，这就好解释了。
可能有人注意到了，这里，我写通解的时候并不是 x0 + (m/gcd)*t ，但是想想一下就明白了，gcd = 1，所以写了跟没写是一样的，但是，由于问题的特殊性，有时候我们得到的特解 x0 是一个负数，还有的时候我们的 m 也是一个负数这怎么办？
当 m 是负数的时候，我们取 m 的绝对值就行了，当 x0 是负数的时候，他模上 m 的结果仍然是负数（在计算机计算的结果上是这样的，虽然定义的时候不是这样的），这时候，我们仍然让 x0 对abs(m) 取模，然后结果再加上abs(m) 就行了，于是，我们不难写出下面的代码求解一个数 a 对于另一个数 m 的乘法逆元：
int cal(int a,int n)
{
int x,y;
int gcd(ex_gcd(a, n, x, y));
if(1%gcd!=0)
{
return -1;
}
x*=1/gcd;
n=abs(n);
int ans=x%n;
if(ans<=0)
ans+=n;
return ans;
}