命题逻辑的推理理论
主要内容
1. 推理的形式结构：
- ①推理的前提
- ②推理的结论
- ③推理正确
- ④有效结论
2. 判断推理是否正确的方法：
- ①真值表法
- ②等值演算法
- ③主析取范式法
3. 对于正确的推理，在自然推理系统P中构造证明
4. ①自然推理系统P的定义
②自然推理系统P的推理规则：
前提引入规则、结论引入规则、置换规则、假言推理规则、附加规则、化简规则、拒取式规则、假言三段式规则、构造性二难规则、合取引入规则。
③附加前提证明法
④归谬法
学习要求
1. 理解并记住推理的形式结构的三种等价形式，即
- ①{A1,A2,…,Ak}├B
- ②A1∧A2∧…∧Ak→B
- ③前提与结论分开写：
- 前提：A1,A2,…,Ak
- 结论：B
在判断推理是否正确时，用②；在P系统中构造证明时用③。
2. 熟练掌握判断推理是否正确的三种方法（真值表法，等值演算法，主析取范式法）。
3. 牢记P系统中的各条推理规则。
4. 对于给定的正确推理，要求在P系统中给出严谨的证明序列。
5. 会用附加前提证明法和归谬法。
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推理的形式结构
有效推理
数理逻辑的主要任务是用数学的方法来研究数学中的推理。所谓推理是指从前提出发推出结论的思维过程，而前提是已知命题公式集合，结论是从前提出发应用推理规则推出的命题公式。要研究推理就应该给出推理的形式结构，为此，首先应该明确什么样的推理是有效的或正确的。
定义3.1 设A1,A2,…,Ak和B都是命题公式，若对于A1,A2,…,Ak和B中出现的命题变项的任意一组赋值，或者A1∧A2 ∧…∧Ak为假，或者当A1∧A2 ∧…∧Ak为真时，B也为真，则称由前提A1,A2,…,Ak推出B的推理是有效的或正确的，并称B是有效结论。
关于定义3.1还需要做以下几点说明：
- 1.由前提A1,A2,…,Ak推结论B的推理是否正确与诸前提的排列次序无关。因而前提的公式不一定是序列，而是一个有限的公式集合，若将这个集合记为Г，可将由Г推B的推理记为Г├ B。若推理是正确的，则记为ГB，否则记为ГB。这里，可以称Г├B和{ A1,A2,…,Ak}├ B 为推理的形式结构。
- 2.设A1,A2,…,Ak，B中共出现n个命题变项，对于任何一组赋值α1,α2,…,αn(αi =0或者1，i=1,2,…,n)，前提和结论的取值情况有以下四种：
- (1) A1∧A2 ∧…∧Ak为0，B为0.
- (2) A1∧A2 ∧…∧Ak为0，B为1.
- (3) A1∧A2 ∧…∧Ak为1，B为0.
- (4) A1∧A2 ∧…∧Ak为1，B为1.
由定义3.1可知，只要不出现(3)中的情况，推理就是正确的，因而判断推理是否正确，就是判断是否会出现(3)中的情况。
- 3．由以上的讨论可知，推理正确，并不能保证结论B一定为真，这与数学中的推理是不同的。
例3.1 判断下列推理是否正确：
(1){p,p→q}q
(2){p,q→p}q
解 只要写出前提的合取式与结论的真值表，看是否出现前提合取式为真，而推论为假的情况。
(1)由表3.1可知，没有出现前提合取式为真，而结论为假的情况，因而(1)中推理正确，即{p,p→q}q.
(2)由表3.1可知，在赋值为10情况下，出现了前提合取式为真，而结论为假的情况，因而(2)推理不正确，即{p,q→p}q.
表3.1
有效推理的等价定理
定理3.1 命题公式A1,A2,…,Ak推B的推理正确当且仅当
(A1∧A2∧…∧Ak )→B
为重言式。
证 首先证明其必要性。若A1,A2,…,Ak推B的推理正确，则对于A1,A2,…,Ak,B中所含命题变项的任意一组赋值，不会出现A1∧A2∧…∧Ak为真，而B为假的情况，因而在任何赋值下，蕴涵式(A1∧A2∧…∧Ak )→B均为真，故它为重言式。
再证明其充分性。若蕴涵式(A1∧A2∧…∧Ak)→B为重言式，则对于任何赋值此蕴涵式均为真，因而不会出现前件为真后件为假的情况，即在任何赋值下，或者A1∧A2∧…∧Ak为假，或者A1∧A2∧…∧Ak和B同时为真，这正符合定义3.1中推理正确的定义。
由此定理知，推理形式：
前提：A1,A2,…,Ak
结论：B
是有效的当且仅当(A1∧A2∧…∧Ak)→B为重言式。(A1∧A2∧…∧Ak)→B称为上述推理的形式结构。从而推理的有效性等价于它的形式结构为永真式。于是，推理正确
{A1,A2,…,Ak}B
可记为
A1∧A2∧…∧AkB
其中同一样是一种元语言符号，用来表示蕴涵式为重言式。
而判断命题公式永真性有三个方法：
- 1． 真值表法
- 2． 等值演算法
- 3． 主析取范式法
重言蕴涵式
由上小节可以看出：形如A→B的重言式在推理中十分重要。若A→B为重言式，则称B为A的推论，记为AB，下面是几个重要的重言蕴涵式及其名称
- 1. A(A∨B) 附加律
- 2. (A∧B)A 化简律
- 3. (A→B)∧AB 假言推理
- 4. (A→B)∧┐B┐A 拒取式
- 5. (A∨B)∧┐BA 析取三段论
- 6. (A→B)∧(B→C)(A→C) 假言三段论
- 7. (AB)∧(BC)(AC) 等价三段论
- 8. (A→B)∧(C→D)∧(A∨C)(B∨D) 构造性二难
- (A→B)∧(┐A→B)∧(A∨┐A)B 构造性二难 (特殊形式)
- 9. (A→B)∧(C→D)∧(┐B∨┐D)(┐A∨┐C) 破坏性二难
这几个蕴涵式在下节中将起重要的作用。
自然推理系统 P
形式推理系统
我们将前述推理用更严谨的形式推理系统描述出来。
定义3.2 一个形式系统I由下面四个部分组成：
（1） 非空的字符表集，记作A(I)。
（2） A(I)中符号构造的合式公式集，记作E(I)。
（3） E(I)中一些特殊的公式组成的公理集，记作AX(I)。
（4） 推理规则集，记作R(I)。
可以将I记为
形式系统一般分为两类。一类是自然推理系统，它的特点是从任意给定的前提出发，应用系统中的推理规则进行推理演算，得到的最后命题公式是推理的结论（有时称为有效的结论，它可能是重言式，也可能不是）。另一类是公理推理系统，它只能从若干给定的公理出发，应用系统中推理规则进行推理演算，得到的结论是系统中的重言式，称为系统中的定理。
自然推理系统 P
P是一个自然推理系统，因而没有公理。故P只有三个部分。
定义3.3 自然推理系统P定义如下：
1．字母表
（1） 命题变项符号：p，q，r，…,pi，qi，ri，…
（2） 联结词符号：┐,∧,∨,→,
（3） 括号和逗号：( , )，，
2．合式公式 同定义1.6
3．推理规则
（1） 前提引入规则：在证明的任何步骤上都可以引入前提。
（2） 结论引入规则：在证明的任何步骤上所得到的结论都可以作为后继证明的前提。
（3） 置换规则：在证明的任何步骤上，命题公式中的子公式都可以用与之等值的公式置换，得到公式序列中的又一个公式。
由九条推理定律和结论引入规则还可以导出以下各条推理定律。
（4） 假言推理规则（或称分离规则）：若证明的公式序列中已出现过A→B和A，则由假言推理定律(A→B)∧AB可知，B是A→B和A的有效结论。由结论引入规则可知，可将B引入到命题序列中来。用图式表示为如下形式：
以下各条推理定律直接以图式给出，不再加以说明。
（5） 附加规则：
（6） 化简规则：
（7） 拒取式规则：
（8） 假言三段论规则：
（9） 析取三段论规则：
（10） 构造性二难推理：
（11） 破坏性二难推理规则：
（12） 合取引入规则：
本条规则说明，若证明的公式序列中已出现A和B ，则可将A∧B引入序列中。这就完成了P的定义。
P中的证明
P中的证明就是由一组P中公式作为前提，利用P中的规则，推出结论。当然此结论也为P中公式。
例3.3 在自然推理系统P中构造下面推理的证明：
(1)前提：p∨q,q→r,p→s,┐s
结论：r∧(p∨q)
(2)前提：┐p∨q, r∨┐q ,r→s
结论：p→s
解 (1)证明：
① p→s 前提引入
② ┐s 前提引入
③ ┐p ①②拒取式
④ p∨q 前提引入
⑤ q ③④析取三段论
⑥ q→r 前提引入
⑦ r ⑤⑥假言推理
⑧ r∧(p∨q) ⑦④合取
此证明的序列长为8，最后一步为推理的结论，所以推理正确，r∧(p∨q)是有效结论。
(2)证明：
① ┐p∨q 前提引入
② p→q ①置换
③ r∨┐q 前提引入
④ q→r ③置换
⑤ p→r ②④假言三段论
⑥ r→s 前提引入
⑦ p→s ⑤⑥假言三段论
从最后一步可知推理正确，p→s是有效结论。
可以在自然推理系统P中构造数学和日常生活中的一些推理，所得结论都是有效的，即当各前提的合取式为真时，结论必为真。
例3.4 在自然推理系统P中构造下面推理的证明：
若数a是实数，则它不是有理数就是无理数；若a不能表示成分数，则它不是有理数；a是实数且它不能表示成分数。所以a是无理数。
解 首先将简单命题符号化：
设 p：a是实数。 q：a是有理数。 r：a是无理数。 s：a能表示成分数。
前提：p→(q∨r), ┐s→┐q, p∧┐s
结论：r
证明：
① p∧┐s 前提引入
② p ①化简
③ ┐s ①化简
④ p→(q∨r) 前提引入
⑤ q∨r ②④假言推理
⑥ ┐s→┐q 前提引入
⑦ ┐q ③⑥假言推理
⑧ r ⑤⑦析取三段论
1．附加前提证明法
2．归谬法
附加前提法
有时推理的形式结构具有如下形式
（A1∧A2∧…∧Ak)→(A→B) （3.5）
（3.5）式中结论也为蕴涵式。此时可将结论中的前件也作为推理的前提，使结论只为B。即，将（3.5）化为下述形式
(A1∧A2∧…∧Ak∧A)→B （3.6）
其正确性证明如下：
（A1∧A2∧…∧Ak)→(A→B)）
┐(A1∧A2∧…∧Ak)∨(┐A∨ B）
┐(A1∧A2∧…∧Ak∨┐A)∨B
┐(A1∧A2∧…∧Ak∧A)∨B
(A1∧A2∧…∧Ak∧A)→B
因为（3.5）式与（3.6）式是等值的，因而若能证明（3.6）式是正确的，则（3.5）式也是正确的。用形式结构（3.6）式证明，将A称为附加前提，并称此证明法为附加前提证明法。
例3.5 在自然推理系统P中构造下面推理的证明。
如果小张和小王去看电影，则小李也去看电影；小赵不去看电影或小张去看电影；小王去看电影。所以，当小赵去看电影时，小李也去看电影。
解 将简单命题符号化：
设 p:小张去看电影。 q:小王去看电影。 r:小李去看电影。 s:小赵去看电影。
前提：(p∧q)→r,┐s∨p,q
结论：s→r
证明：用附加前提证明法。
① s 附加前提引入
② ┐s∨p 前提引入
③ p ①②析取三段论
④ (p∧q)→r 前提引入
⑤ q 前提引入
⑥ p∧q ③⑤合取
⑦ r ④⑥假言推理
归谬法
在构造形式结构为
(A1∧A2∧…∧Ak)→B
的推理证明中，如果将┐B作为前提能推出矛盾来，比如说得出(A∧┐A)，则说明推理正确。其原因如下：
(A1∧A2∧…∧Ak)→B
┐(A1∧A2∧…∧Ak)∨B
┐(A1∧A2∧…∧Ak∧┐B)
若(A1∧A2∧…∧Ak∧┐B)为矛盾式，正说明(A1∧A2∧…∧Ak)→B为重言式，即 (A1∧A2∧…∧Ak)B,
故推理正确。
例3.6 在自然推理系统P中构造下面推理的证明。
如果小张守第一垒并且小李向B队投球，则A队将取胜；或者A队未取胜，或者A队获得联赛第一名；A队没有获得联赛的第一名；小张守第一垒。因此，小李没有向B队投球。
解 先将简单命题符号化。
设 p:小张守第一垒。
q:小李向B队投球。
r:A队取胜。
s:A队获得联赛第一名。
前提：(p∧q)→r,┐r∨s,┐s ,p
结论：┐q
证明：用归谬法
① q 结论的否定引入
② ┐r∨s 前提引入
③ ┐s 前提引入
④ ┐r ②③析取三段论
⑤ (p∧q)→r 前提引人
⑥ ┐(p∧q) ④⑤拒取式
⑦ ┐p∨┐q ⑥置换
⑧ p 前提引入
⑨ ┐q ⑦⑧析取三段论
⑩ q∧┐q ①⑨合取
由于最后一步q∧┐q0，即(((p∧q)→r)∧(┐r∨s)∧┐s∧p)∧q0，所以推理正确。
习题
1．判断下面推理是否正确。先将简单命题符号化，再写出前提、结论、推理的形式结构（以蕴涵式的形式给出）和判断过程（至少给出两种判断方法）：
（1）若今天是星期一，则明天是星期三；今天是星期一。所以明天是星期三。
（2）若今天是星期一，则明天是星期二；明天是星期二。所以今天是星期一。
（3）若今天是星期一，则明天是星期三；明天不是星期三。所以今天不是星期一。
（4）若今天是星期一，则明天是星期二；今天不是星期一。所以明天不是星期二。
（5）若今天是星期一，则明天是星期二或星期三。
（6）今天是星期一当且仅当明天是星期三；今天不是星期一。所以明天不是星期三。
2．在自然推理系统P中构造下面推理的证明：
（1）前提：p→(q→r), p, q
结论：r∨s
（2）前提：p→q, ┐(q∧r), r
结论：┐p
（3）前提：p→q
结论：p→(p∧q)
（4）前提：q→p, qs, st, t∧r
结论：p∧q
（5）前提：p→r, q→s, p∧q
结论：r∧s
（6）前提：┐p∨r, ┐q∨s, p∧q
结论：t→(r∨s)
3．在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：
（1）前提：p→(q→r), s→p, q
结论：s→r
（2）前提：(p∨q)→(r∧s), (s∨t)→u
结论：p→u
4．在自然推理系统P中用归谬法证明下面推理：
（1）前提：p→┐q, ┐r∨q, r∧┐s
结论：┐p
（2）前提：p∨q, p→r, q→s
结论：r∨s
5．在自然推理系统P中构造下面推理的证明。
（1）如果小王是理科学生，他必学好数学；如果小王不是文科生，他必是理科生；小王没学好数学。所以，小王是文科生。
（2）明天是晴天，或是雨天；若明天是晴天，我就去看电影；若我看电影，我就不看书。所以，如果我看书，则明天是雨天。
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答案
1．设p：今天是星期一，q：明天是星期二，r：明天是星期三。
（1）推理的形式结构为 (p→r)∧p→r
此形式结构为重言式，即 (p→r)∧pr
所以推理正确。
（2）推理的形式结构为 (p→q)∧q→p
此形式结构不是重言式，故推理不正确。
（3）推理形式结构为 (p→r)∧┐r→┐p
此形式结构为重言式，即 (p→r)∧┐r┐p
故推理正确。
（4）推理形式结构为 (p→q)∧┐p→┐q
此形式结构不是重言式，故推理不正确。
（5）推理形式结构为 p→(q∨r)
它不是重言式，故推理不正确。
（6）推理形式结构为 (pr)∧┐p→┐r
此形式结构为重言式，即 (pr)∧┐p┐r
故推理正确。
推理是否正确，可用多种方法证明。证明的方法有真值表法、等式演算法。证明推理正确还可用构造证明法。
下面用构造证明法证明（6）推理正确。
前提: pr, ┐p
结论: ┐r
证明: ① pr 前提引入
② (p→r)∧(r→p) ①置换
③ r→p ②化简律
④ ┐p 前提引入
⑤ ┐r ③④拒取式
所以，推理正确。
2． （1）证明：
| ①p→(q→r) | 前提引入 | |
| ②p | 前提引入 | |
| ③q→r | ①②假言推理 | |
| ④q | 前提引入 | |
| ⑤r | ③④假言推理 | |
| ⑥r∨s | ⑤附加律 |
| ①┐(q∧r) | 前提引入 | |
| ②┐q∨┐r | ①置换 | |
| ③r | 前提引入 | |
| ④┐q | ②③析取三段论 | |
| ⑤p→q | 前提引入 | |
| ⑥┐p | ④⑤拒取式 |
| ①p→q | 前提引入 | |
| ②┐p∨q | ①置换 | |
| ③(┐p∨q)∧(┐p∨p) | ②置换 | |
| ④┐p∨(p∧q) | ③置换 | |
| ⑤p→(p∧q) | ④置换 |
（4）证明：
| ①st | 前提引入 | |
| ②(s→t)∧(t→s) | ①置换 | |
| ③t→s | ②化简 | |
| ④t∧r | 前提引入 | |
| ⑤t | ④化简 | |
| ⑥s | ③⑤假言推理 | |
| ⑦qs | 前提引入 | |
| ⑧(s→q)∧(q→s) | ⑦置换 | |
| ⑨s→q | ⑧化简 | |
| ⑩q | ⑥⑨假言推理 | |
| q→p | 前提引入 | |
| p | ⑩假言推理 | |
| p∧q | ⑩合取 |
（5）证明：
| ①p→r | 前提引入 | |
| ②q→s | 前提引入 | |
| ③p∧q | 前提引入 | |
| ④p | ③化简 | |
| ⑤q | ③化简 | |
| ⑥r | ①④假言推理 | |
| ⑦s | ②⑤假言推理 | |
| ⑧r∧s | ⑥⑦合取 |
（6）证明：
| ①t | 附加前提引入 | |
| ②┐p∨r | 前提引入 | |
| ③p∧q | 前提引入 | |
| ④p | ③化简 | |
| ⑤r | ②④析取三段论 | |
| ⑥r∨s | ⑤附加 |
说明：证明中，附加提前t，前提┐q∨s没用上。这仍是正确的推理。
3． （1）证明：
| ①s | 附加前提引入 | |
| ②s→p | 前提引入 | |
| ③p | ①②假言推理 | |
| ④p→(q→r) | 前提引入 | |
| ⑤q→r | ③④假言推理 | |
| ⑥q | 前提引入 | |
| ⑦r | ⑤⑥假言推理 |
| ①p | 附加前提引入 | |
| ②p∨q | ①附加 | |
| ③(p∨q)→(r∧s) | 前提引入 | |
| ④r∧s | ②③假言推理 | |
| ⑤s | ④化简 | |
| ⑥s∨t | ⑤附加 | |
| ⑦(s∨t)→u | 前提引入 | |
| ⑧u | ⑥⑦假言推理 |
4．（1）证明：
| ①p | 结论否定引入 | |
| ②p→┐q | 前提引入 | |
| ③┐q | ①②假言推理 | |
| ④┐r∨q | 前提引入 | |
| ⑤┐r | ③④析取三段论 | |
| ⑥r∧┐s | 前提引入 | |
| ⑦r | ⑥化简 | |
| ⑧┐r∧r | ⑤⑦合取 |
⑧为矛盾式，由归谬法可知，推理正确。
（2）证明：
| ①┐(r∨s) | 结论否定引入 | |
| ②p∨q | 前提引入 | |
| ③p→r | 前提引入 | |
| ④q→s | 前提引入 | |
| ⑤r∨s | ②③④构造性二难 | |
| ⑥┐(r∨s)∧(r∨s) | ①⑤合取 |
⑥为矛盾式，所以推理正确。
5．（1） 令p：小王是理科生，q：小王是文科生，r：小王学好数学。
前提：p→r, ┐q→p, ┐r
结论：q
证明：
| ①p→r | 前提引入 | |
| ②┐r | 前提引入 | |
| ③┐p | ①②拒取式 | |
| ④┐q→p | 前提引入 | |
| ⑤q | ③④拒取式 |
前提： p∨q, p→r, r→┐s
结论： s→q
证明：
①s 附加前提引入 ②r→┐s 前提引入 ③┐r ①②拒取式 ④p→r 前提引入 ⑤┐p ③④拒取式 ⑥p∨q 前提引入 ⑦q ⑤⑥析取三段论
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