勿幻想
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线性代数笔记——非奇异矩阵与方阵的伴随矩阵

一、行列式非零的矩阵

1、定义：设A是n阶矩阵，如果 detA\neq 0 ，则称A是非奇异的，如果 detA= 0，则称A是奇异的.

2、引理1  初等矩阵是非奇异的，并且

     （1）detE_{n}(i\Leftrightarrow j)=-1

     （2）detE_{n}(i(h))=h\: \: \: \: \: \: (h\neq 0)

     （3）detE_{n}(i(k)\Leftrightarrow j)=1

3、引理2  如果A是n阶矩阵，Q是n阶初等矩阵，那么 det(AQ)=detA*detQ

4、引理3  n阶矩阵A是非奇异的当且仅当A的秩为n.

     证明  如果A的秩为n，那么根据定理2.6知，存在初等矩阵E_{1},E_{2},\cdots,E_{s}，使得A=E_{1},E_{2},\cdots,E_{s}，因此，

      detA=[det(E_{1},E_{2},\cdots,E_{s-1})](detE_{s})=(detE_{1})(detE_{2})\cdots (detE_{s})\neq 0 ,即A是非奇异的.

      如果A的秩小于n，则存在初等矩阵Q_{1},Q_{2},\cdots,Q_{t},使得B=AQ_{1},Q_{2},\cdots,Q_{t}含有零列。根据性质7的推论1得

      detB=0.由于 detB=det(AQ_{1},Q_{2},\cdots,Q_{t})=(detA)(detQ_{1})(detQ_{2})\cdots (detQ_{t})= 0,并且有

       (detQ_{1})(detQ_{2})\cdots (detQ_{t})\neq 0，所以，detA=0.证毕

5、定理1  如果A是n阶矩阵，那么下列断言等价：

（1）A是非奇异的；

（2）A的秩为n；

（3）A是可逆的；

（4）A的列(行)向量组是线性无关的；

（5）齐次线性方程组AX=0只有零解；

（6）非齐次线性方程组AX=\beta 有唯一解.

6、定理2  如果A,B是两个n解矩阵，那么 det(AB )=detA*detB.

     推论1  如果A_{1},A_{2},\cdots,A_{s} 都是n阶矩阵，则det(A_{1},A_{2},\cdots,A_{s})=(detA_{1})(detA_{2})\cdots(detA_{s}).

     推论2  如果A是可逆矩阵，则 det(A^{-1})=(detA)^{-1}.

二、方阵的转置的行列式

1、引理4  如果P是初等矩阵，则det(P^{T})=detP.

2、性质10  如果A是n阶矩阵，则det(A^{T})=detA.

      证明：如果r(A)，因此 det(A^{T})=0=detA.如果r(A)=n,则由定理2.6知，存在初等

      矩阵E_{1},E_{2},\cdots,E_{s}，使得A=E_{1},E_{2},\cdots,E_{s}，因此，

      detA=[det(E_{1},E_{2},\cdots,E_{s})^{T}]=[det(E_{s}^{T},\cdots,E_{2}^{T},E_{s}^{T})]=(detE_{s})\cdots(detE_{2})(detE_{1})

                =det(E_{1},E_{2},\cdots,E_{s})=detA.  证毕

三、按任意一行(列)展开行列式

1、引理5  设 n\geq 2,A=(a_{ij}) 是n阶矩阵，A的行列式等于A的任意一行的各元素与其对应的代数余子式乘积之和

      detA=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in},i=1,2,\cdots,n.

2、引理6  设 n\geq 2,A=(a_{ij}) 是n阶矩阵，A的行列式等于A的任意一列的各元素与其对应的代数余子式乘积之和

      detA=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots+a_{nj}A_{nj},j=1,2,\cdots,n.

3、引理7  设 A=(a_{ij}) 是n\geq 2 阶矩阵，如果h,i\in \begin{Bmatrix} 1,2,\cdots,n \end{Bmatrix},h\neq i，那么A的第h行的各元素与第i行的对应元素的

      代数余子式乘积之和等于0，即 a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}=0

4、引理8  设 A=(a_{ij}) 是n\geq 2 阶矩阵，如果j,k\in \begin{Bmatrix} 1,2,\cdots,n \end{Bmatrix},j\neq k，那么A的第j列的各元素与第k行的对应元素的

      代数余子式乘积之和等于0，即 a_{1j}A_{1k}+a_{2j}A_{2k}+\cdots+a_{nj}A_{nk}=0.

5、定理3  设 A=(a_{ij}) 是n\geq 2 阶矩阵，那么

      a_{h1}A_{i1}+a_{h2}A_{i2}+\cdots+a_{hb}A_{in}=\left\{\begin{matrix} |A|,if \: \: h=i\\ 0\: \: \: ,if \: \: h\neq i \end{matrix}\right.

      a_{1j}A_{1k}+a_{2j}A_{2k}+\cdots+a_{nj}A_{nk}=\left\{\begin{matrix} |A|,if \: \: j=k\\ 0\: \: \: ,if \: \: j\neq k\end{matrix}\right.

四、方阵的伴随矩阵

1、定义：设 n\geq 2,A=(a_{ij}) 是n阶矩阵，A的(i,j)-元 a_{ij}的代数余子式为 A_{ij},i,j=1,2,\cdots,n，下列n阶矩阵

                A^{*}=\begin{pmatrix} A_{11} &A_{21} &\cdots &A_{n1} \\ A_{12} &A_{22} &\cdots &A_{n2} \\ \vdots &\vdots & & \vdots\\ A_{1n} &A_{2n} &\cdots &A_{nn} \end{pmatrix}

        称为A的伴随矩阵.

2、根据定理3，有下列结论：

      AA^{*}=\begin{pmatrix} a_{11} &a_{21} &\cdots &a_{n1} \\ A_{12} &a_{22} &\cdots &a_{n2} \\ \vdots &\vdots & & \vdots\\ a_{1n} &a_{2n} &\cdots &a_{nn} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A_{11} &A_{21} &\cdots &A_{n1} \\ A_{12} &A_{22} &\cdots &A_{n2} \\ \vdots &\vdots & & \vdots\\ A_{1n} &A_{2n} &\cdots &A_{nn} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} |A| & & & \\ & |A| & & \\ & & \ddots & \\ & & & |A| \end{pmatrix}=|A|I_{n}

3、定理4  如果A是n阶矩阵，A^{*}的A的伴随矩阵，那么AA^{*}=A^{*}A=|A|I_{n}

4、命题1  设 n\geq 2,A=(a_{ij}) 是n阶矩阵，A^{*}的A的伴随矩阵，如果A是可逆矩阵，那么

    （1）A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^{*},A^{*}=|A|A^{-1}

    （2）(A^{*})^{-1}=(A^{-1})^{*}=\frac{1}{|A|}A

    （3）(A^{*})^{*}=|A|^{n-2}A

5、命题1  设 n\geq 2,A=(a_{ij}) 是n阶矩阵，A^{*}的A的伴随矩阵，那么

   （1）|A|=0 的充分必要条件是|A^{*}|=0

   （2）|A^{*}|=|A|^{n-1}

   （3）(kA)^{*}=k^{n-1}A^{*}.

 

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