MATLAB实现正态分布ML（极大似然）估计

极大似然估计详解

下面用MATLAB实现正态分布的ML估计

% 二维正态分布的两分类问题  （ML估计）

clc;
clear;

% 两个类别数据的均值向量
Mu = [0 0; 3 3]';
% 协方差矩阵
S1 = 0.8 * eye(2);
S(:, :, 1) = S1;
S(:, :, 2) = S1;
% 先验概率（类别分布）
P = [1/3 2/3]';
% 样本数据规模
% 收敛性：无偏或者渐进无偏，当样本数目增加时，收敛性质会更好
N = 500;


% 1.生成训练和测试数据
%{
    生成训练样本
    N = 500,  c = 2, d = 2
    μ1=[0, 0]'   μ2=[3, 3]'
    S1=S2=[0.8, 0; 0.8, 0]
    p(w1)=1/3   p(w2)=2/3
%}
randn('seed', 0);
[X_train, Y_train] = generate_gauss_classes(Mu, S, P, N);

figure();
hold on;
class1_data = X_train(:, Y_train==1);
class2_data = X_train(:, Y_train==2);
plot(class1_data(1, :), class1_data(2, :), 'r.');
plot(class2_data(1, :), class2_data(2, :), 'g.');
grid on;
title('训练样本');
xlabel('N=500');

%{
    用同样的方法生成测试样本
    N = 500,  c = 2, d = 2
    μ1=[0, 0]'   μ2=[3, 3]'
    S1=S2=[0.8, 0; 0.8, 0]
    p(w1)=1/3   p(w2)=2/3
%}
randn('seed', 100);
[X_test, Y_test] = generate_gauss_classes(Mu, S, P, N);
figure();
hold on;
test1_data = X_test(:, Y_test==1);
test2_data = X_test(:, Y_test==2);
plot(test1_data(1, :), test1_data(2, :), 'r.');
plot(test2_data(1, :), test2_data(2, :), 'g.');
grid on;
title('测试样本');
xlabel('N=500');


% 2.用训练样本采用ML方法估计参数
% 各类样本只包含本类分布的信息，也就是说不同类别的参数在函数上是独立的
[mu1_hat, s1_hat] = gaussian_ML_estimate(class1_data);
[mu2_hat, s2_hat] = gaussian_ML_estimate(class2_data);
mu_hat = [mu1_hat, mu2_hat];
s_hat = (1/2) * (s1_hat + s2_hat);


% 3.用测试样本和估计出的参数进行分类
% 使用欧式距离进行分类
z_euclidean = euclidean_classifier(mu_hat, X_test);
% 使用贝叶斯方法进行分类
z_bayesian = bayes_classifier(Mu, S, P, X_test);


% 4.计算不同方法分类的误差
err_euclidean = ( 1-length(find(Y_test == z_euclidean')) /  length(Y_test) );
err_bayesian = ( 1-length(find(Y_test == z_bayesian')) /  length(Y_test) );
% 输出信息
disp(['基于欧式距离分类的误分率：', num2str(err_euclidean)]);
disp(['基于最小错误率贝叶斯分类的误分率：', num2str(err_bayesian)]);


% 画图展示
figure();
hold on;
z_euclidean = transpose(z_euclidean);
o = 1;
q = 1;
for i = 1:size(X_test, 2)
    if Y_test(i) ~= z_euclidean(i)
        plot(X_test(1,i), X_test(2,i), 'bo');
    elseif z_euclidean(i)==1
        euclidean_classifier_results1(:, o) = X_test(:, i);
        o = o+1;
    elseif z_euclidean(i)==2
        euclidean_classifier_results2(:, q) = X_test(:, i);
        q = q+1;
    end
end
plot(euclidean_classifier_results1(1, :), euclidean_classifier_results1(2, :), 'r.');
plot(euclidean_classifier_results2(1, :), euclidean_classifier_results2(2, :), 'g.');
title(['基于欧式距离分类，误分率为：', num2str(err_euclidean)]);
grid on;

figure();
hold on;
z_bayesian = transpose(z_bayesian);
o = 1;
q = 1;
for i = 1:size(X_test, 2)
    if Y_test(i) ~= z_bayesian(i)
        plot(X_test(1,i), X_test(2,i), 'bo');
    elseif z_bayesian(i)==1
        bayesian_classifier_results1(:, o) = X_test(:, i);
        o = o+1;
    elseif z_bayesian(i)==2
        bayesian_classifier_results2(:, q) = X_test(:, i);
        q = q+1;
    end
end
plot(bayesian_classifier_results1(1, :), bayesian_classifier_results1(2, :), 'r.');
plot(bayesian_classifier_results2(1, :), bayesian_classifier_results2(2, :), 'g.');
title(['基于最小错误率的贝叶斯决策分类，误分率为：', num2str(err_bayesian)]);
grid on;

生成数据的函数：

function [ data, C ] = generate_gauss_classes( M, S, P, N )
%{
    函数功能：
        生成样本数据，符合正态分布

    参数说明：
        M：数据的均值向量
        S：数据的协方差矩阵
        P：各类样本的先验概率，即类别分布
        N：样本规模

    函数返回
        data：样本数据（2*N维矩阵）
        C：样本数据的类别信息
%}

[~, c] = size(M);
data = [];
C = [];

for j = 1:c
    % z = mvnrnd(mu,sigma,n);
    % 产生多维正态随机数，mu为期望向量，sigma为协方差矩阵，n为规模。
    % fix 函数向零方向取整
    t = mvnrnd(M(:,j), S(:,:,j), fix(P(j)*N))';
    
    data = [data t];
    C = [C ones(1, fix(P(j) * N)) * j];
end

end

正态分布的ML估计（对训练样本）：

function [ m_hat, s_hat ] = gaussian_ML_estimate( X )
%{
    函数功能：
        样本正态分布的最大似然估计

    参数说明：
        X：训练样本

    函数返回：
        m_hat：样本由极大似然估计得出的正态分布参数，均值
        s_hat：样本由极大似然估计得出的正态分布参数，方差
%}

% 样本规模
[~, N] = size(X);
% 正态分布样本总体的未知均值μ的极大似然估计就是训练样本的算术平均
m_hat = (1/N) * sum(transpose(X))';

% 正态分布中的协方差阵Σ的最大似然估计量等于N个矩阵的算术平均值
s_hat = zeros(1);
for k = 1:N
    s_hat = s_hat + (X(:, k)-m_hat) * (X(:, k)-m_hat)';
end
s_hat = (1/N)*s_hat;
end

% 详细的计算过程推导可以参考前一篇博客：极大似然估计详解。

有了估计参数，对测试数据进行分类：

基于欧式距离的分类：

function [ z ] = euclidean_classifier( m, X )
%{
    函数功能：
        利用欧式距离对测试数据进行分类

    参数说明：
        m：数据的均值，由ML对训练数据，参数估计得到
        X：我们需要测试的数据

    函数返回：
        z：数据所属的分类
%}

[~, c] = size(m);
[~, n] = size(X);

z = zeros(n, 1);
de = zeros(c, 1);
for i = 1:n
    for j = 1:c
        de(j) = sqrt( (X(:,i)-m(:,j))' * (X(:,i)-m(:,j)) );
    end
    [~, z(i)] = min(de);
end

end

基于最小错误率的贝叶斯估计：

function [ z ] = bayes_classifier( m, S, P, X )
%{
    函数功能：
        利用基于最小错误率的贝叶斯对测试数据进行分类

    参数说明：
        m：数据的均值
        S：数据的协方差
        P：数据类别分布概率
        X：我们需要测试的数据

    函数返回：
        z：数据所属的分类
%}

[~, c] = size(m);
[~, n] = size(X);

z = zeros(n, 1);
t = zeros(c, 1);
for i = 1:n
    for j = 1:c
        t(j) = P(j) * comp_gauss_dens_val( m(:,j), S(:,:,j), X(:,i) );
    end
    [~, z(i)] = max(t);
end

end

function [ z ] = comp_gauss_dens_val( m, s, x )
%{
    函数功能：
        计算高斯分布N（m, s），在某一个特定点的值

    参数说明：
        m：数据的均值
        s：数据的协方差
        x：我们需要计算的数据点

    函数返回：
        z：高斯分布在x出的值
%}

z = ( 1/( (2*pi)^(1/2)*det(s)^0.5 ) ) * exp( -0.5*(x-m)'*inv(s)*(x-m) );

end

本文源代码下载