扩展的欧几里得算法——递归与非递归实现

扩展的欧几里得算法（一）——引子

前言

欧几里得算法的目的是求出正整数a，b的最大公因数，记作gcd(a, b)。该算法的原理我就不赘述了，任何一本初等数论的课本都会有详细的介绍。这次的一系列文章的重点放在如何用实际的代码去实现这些算法，我们忽略数学的细节，专注于代码的编写。
欧几里得算法的实现非常简单，它的递归实现为

int gcd(int a, int b)
{
    return (b == 0) ? a : gcd(b, a % b);
}

同一种算法，可以有不同的实现，欧几里得算法就是这样一个活生生的例子。用递归实现的好处在于代码简洁明了，清晰易懂，只不过由于调用栈的原因，时间上不如非递归算法高效。我们也可以用非递归算法实现欧几里得算法。

int gcd(int a, int b)
{
    if (b == 0)
        return a;
    int r = a % b;
    while (r) {
        a = b; 
        b = r;
        r = a % b;
    }
    return b;
}

那么什么是扩展的欧几里得算法呢？最大公因数有这样一条性质：存在整数x，y使得
ax + by = gcd(a, b)
扩展的欧几里得算法可以求出满足条件的一组x和y，当然这样的整数对(x, y)不是唯一的。

实现

在讲述扩展的欧几里得算法原理之前，我先给出实现，这样没有耐心的小伙伴可以直接从我这里copy代码过去，这也算是功德一件（笑）。

扩展的欧几里得算法常见的实现应该是一面的递归实现，它的原理非常简单。要求出整数对(x,y)满足
ax + by = gcd(a, b)，(b ！= 0)
那么只要知道(x’, y’)满足(a % b)x' + by' =gcd(a, b)
又有a % b = a - (a / b)*b, (这里的'/'号向下取整)
我们可以知道x = x', y = y'-(a/b)x'

递归实现如下：

int e_gcd(int a, int b, int *x, int *y)
{
    if (b == 0) {
        *x = 1; *y = 0;
        return a; 
    } else {
        int r = e_gcd(b, a%b, y, x);
        *y -= (*x)*(a/b);
        return r;
    }
}

当然，扩展欧几里得算法也有非递归实现，它的原理是“列表法”。下面给出实现代码。

int e_gcd(int a, int b, int *x, int *y)
{
    int r, q, s1 = 1, s2 = 0;

    if (b == 0) {
        *x = 1; *y = 0;
        return a;
    }
    *x = 0, *y = 1;
    r = a % b;
    q = a / b;
    while (r) {
        int m = *x, n = *y;
        *x = s1 - (*x)*q;
        *y = s2 - (*y)*q;
        s1 = m; s2 = n;
        a  = b; b  = r;
        q = a / b;
        r = a % b;
    }
    return b;
}

我们可以看出，在代码实现上，扩展欧几里得算法只是在欧几里得算法的基础上增加了对整数对(x,y)的迭代求解而已。总体来说，实现难度不大。

下回预告

• 到底什么是“列表法”求整数对(x,y)？
• 列表法的原理是什么？
• 如何在纸上用列表法求出x, y

请期待我的下一篇博文吧！下次我们接着聊。