扩展欧几里得算法【原理+编码】
一、问题描述
已知两个整数m和n，求mx + ny = gcd(m, n)。
二、知识引入
贝祖定理：m>=0, n>=0, 且m,n
Z => E x, y Z, 使 mx + ny =gcd(m,n)
定理证明：1）设m=n=0，则gcd(m, n)=0，显然定理成立。
2）设m != 0 ，集合A={ mx+ny | x, y Z }，则 A 
Z.
=> 令集合P=A
N，则P={z | z >= 0 }. 【证明P
】
=> 设d是P中最小的正整数，则 E x0, y0 Z , 使 mx0 + ny0 = gcd(m, n) = d.
=> 设d|m = q...r，即m=d*q+r, d>r>=0.
=> r = m - d * q = m - (mx0 + ny0)*q = m(1-x0) - n(qy0)
=> r P, 又d>r与d是P中最小的正整数矛盾
=> r = 0.
=> m=d*q, 同理可证n=d*p，即d是m和n的公约数
=> 设c是m和n的任一公约数，则 m=c*c', n=c*c''.
=> d = mx0 + ny0 = (c*c')x0 + (c*c'')y0 = c ( c'x0 + c''y0 ).
=> d >= c, 即d大于等于m和n的任一公约数
=> d=gcd(m,n)
证明P：
1）设(x, y) = (
1,0)，则mx+ny = m，即 m A，亦即A中至少有一个正数 |m|.
2）因为P=A N, |m| A, |m| N，所以|m| P. 即P.
P得证。
定理得证。
三、解题思路
已知 mx + ny = gcd(m, n), 且gcd(m, n) = gcd(n, m%n). (m>=n)
=> mx + ny = gcd(m, n) = gcd(n, m%n) = nx' + (m%n)y'
=> mx + ny = nx' + (m%n)y'
=> mx + ny = nx' + (m-n*
m/n
)y'
=> mx + ny = my' + n(x'-m/ny')
=> x=y', y=x' - m/ny'
=> 即mx + ny = gcd(m,n)的解(x, y)，由nx + (m%n)y = gcd(n, m%n)的解(x', y')求出
然后可得出求解递归式：
设求解函数为F(m, n, x, y) : mx + ny = gcd(m, n)
则 F(m, n, x, y) = F(n, m%n, y', x'- m/ny')
F(d, 0, 1, 0): gcd(m,n)=gcd(d,0)=d
四、编程求解
int EuclidXY(int m, int n, int *x, int *y)
{
//欧几里得算法求gcd(m, n)，同时求解mx+ny=gcd(m,n)
//递归算法
//输入：两个不全为0的非负整数m,n, 整数x和y的地址
//输出：m,n的最大公约数，gcd(0,0)=0
if(m < n)
{
int temp = n;
n = m;
m = temp;
}
if(n==0)
{
*x = 1;
*y = 0;
return m;
}
//法一
//int r=EuclidXY(n, m%n, x, y);
//int temp = *y;
//*y = *x - m/n * (*y);
//*x = temp;
//法二
int r = EuclidXY(n, m%n, y, x);
*y -= m/n * (*x);
return r;
}五、推广
- 定理一：ax + by = c有解，当且仅当c%gcd(a,b)=0
证明：设c%gcd(a,b)=0 ………………………证明c%gcd(a,b)==0时有解
=> c = gcd(a,b) * k
=> 又ax + by = gcd(a,b)有解
=> a*k*x + b*k*y = k*gcd(a,b) = c有解
=> 原式解为(kx, ky), 其中(x,y)是ax+by=gcd(a,b)的解
设c%gcd(a,b)!=0时有解………………证明c%gcd(a,b) != 0时无解
=> c=gcd(a,b)*k+r，gcd(a,b)>r>0
=> 又ax'+by'=gcd(a,b)
=> c=(ax' + by')*k+r
=> c=a(kx')+b(ky')+r
=> 令x=kx', y=ky'
=> 则c=ax+by+r
=> 又gcd(a,b)<=min{a,b}
=> 0
=> 与题设c=ax+by有解矛盾
证毕 - 定理二：若ax + by = c有解，x最小非负整数解为(x+b1*t)%b1, b1=b/gcd(a,b)
证明：因为ax+by=c有解
所以c % gcd(a,b) = 0
令a1=a/gcd(a,b), b1=b/gcd(a,b), c1=c/gcd(a,b)
所以原式 <=> a1*x + b1*y = c1 (两边同时除gcd(a,b))
设一组解为(x', y')
由定理三知所有解(x, y) = (x'+b1*t, y'-a1*t) (gcd(a1,b1)=1)
所以x是一组间隔为b1的整数，
min(x)=(x'+b1*t)/b1 - 定理三：已知ax+by=gcd(a,b)的一组解为(x', y')，则其所有解为x=x'+b/gcd(a,b)*t, y=y'-a/gcd(a,b)*t, t是整数
证明：已知ax' + by' = gcd(a,b)
=> 同时在式子两边加上能同时整合到ax'和by'上的最小整数：ab/gcd(a,b)
=> ax' + by' + ab/gcd(a,b) = gcd(a,b) + ab/gcd(a,b)
=> ax'+ tab/gcd(a,b) + by' -tab/gcd(a,b) = gcd(a,b) (t是整数)
=> a(x'+tb/gcd(a,b)) + b(y'-ta/gcd(a,b)) = gcd(a,b)
=> x = x' + tb/gcd(a,b), y=y'-ta/gcd(a,b)
这其实很不严谨