已知等边三角形两点，求第三点坐标

本文不是针对几何公式推导，而是针对在编写程序过程中遇到的实际问题，所以打算只求出符合要求的等边三角形中的一个即可。在阅读生成平均脸的过程中，需要求出以两只眼为两点的等边三角形的另外一点的坐标。

由上图可知（引用自博客），当点($X_0$,$Y_0$)旋转$\theta$之后的坐标可以由下面的公式推出。

$$\left[\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{X}_0\\ Y_0\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(1)}$$

由此分析，当已知A和B两点，向量$AB$为$B$ - $A$，将向量$AB$以A为中心旋转$60^{\circ }$后得到的向量$AC$的终点C便是我们要求的第三点坐标（这句话有点长，慢慢读，很好理解）。
$$\left[\begin{array}{c}{X}_C\\ Y_C\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{X}_A\\ Y_A\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{X}_{AB}\\ Y_{AB}\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(2)}$$

于是便有如下matlab代码，其中红色的线表示向量$AB$，绿色的线表示向量$BC$，蓝色的线表示向量$CA$。

% 根据旋转矩阵求等边三角形第三点坐标
A = [3; 1]; %可任意修稿
B = [5; 8]; % 可任意修改
AB = B - A;
theta = deg2rad(60);
T = [cos(theta) sin(theta); -sin(theta) cos(theta)];
C = A + T*AB; % 核心旋转程序
lines = [A'; B'; C'; A'];
hold on;
plot(lines([1 2], 1), lines([1 2], 2), 'r');
plot(lines([2 3], 1), lines([2 3], 2), 'g');
plot(lines([3 1], 1), lines([3 1], 2), 'b');
axis equal

结果如下图，点(3,1)和(5,8)已知，另外一个点的坐标是(10.062,2.768)，同理只要将向量$AB$朝另一个方向旋转$60^{\circ }$便可得到另一个顶点，即将程序中的$60^{\circ }$改为$-60^{\circ }$即可，得到的坐标是(-2.062,6.232)。