二重积分、三重积分

二重积分：

二重积分的现实(物理)含义：面积 × 物理量 = 二重积分值；
举例说明：二重积分的现实(物理)含义：

1. 二重积分计算平面面积，即：面积 × 1 = 平面面积
2. 二重积分计算立体体积，即：底面积 × 高 = 立体体积
3. 二重积分计算平面薄皮质量，即：面积 × 面密度 = 平面薄皮质量

二重积分的定义式：
$${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma$$其中
$x$与$y$叫做积分变量，$f(x,y)$叫做被积函数，$d\sigma$叫做面积元素，$D$叫做积分区域

二重积分的表达形式：
1、直角坐标形式：$${\iint }_{D}f(x,y)dxdy$$其中$dxdy叫做直角坐标系中的面积元素$
2、极坐标系形式：$${\iint }_{D}f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta )\rho d\rho d\theta$$其中$\rho d\rho d\theta$叫做极坐标系中的面积元素

二重积分的计算法：将二重积分转化为二次积分计算
1、在直角坐标系下，$f(x,y)中x的取值区间为[x_0,x_1]，则可推到出y的取值区间为[g(x_0),g(x_1)]$，则有$${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\int }_{x_0}^{x_1}dx{\int }_{g(x_0)}^{g(x_1)}f(x,y)dy$$
反之，若$f(x,y)$中y的取值区间为[y_0,y_1]，则可推到出x的取值区间为$[g(y_0),g(y_1)]$，则有$${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\int }_{y_0}^{y_1}dy{\int }_{g(y_0)}^{g(y_1)}f(x,y)dx$$

2、在极坐标系下，$f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta )$中$\theta$的取值范围为$[{\theta }_0,{\theta }_1]$,$\rho$的取值范围为$[{\rho }_0,{\rho }_1]$，则有$${\iint }_{D}f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta )\rho d\rho d\theta ={\int }_{{\theta }_0}^{{\theta }_1}d\theta {\int }_{{\rho }_0}^{{\rho }_1}f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta )\rho d\rho$$

三重积分：

三重积分的现实(物理)含义：体积 × 物理量 = 三重积分值；
举例说明：

1. 三重积分计算立体体积，即：体积 × 1 = 立体体积
2. 三重积分计算立体质量，即：体积 × 体密度 = 立体质量

三重积分的定义式：
$${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dv$$其中$f(x,y,z)$叫做被积函数，$dv$叫做体积元素，$\Omega$ 叫做积分区域

三重积分的表达形式：
1、直角坐标形式：
$${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dxdydz$$其中$dxdydz$叫做直角坐标系的体积元素
2、柱面坐标系形式：
$${\iiint }_{\Omega }f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta ,z)\rho d\rho d\theta dz$$与定义式的关系为$$\{\begin{array}{c}x=\rho \cos \theta \\ y=\rho \sin \theta \\ z=z\\ dv=\rho d\rho d\theta dz\end{array}$$
3、球面坐标系形式：
$${\iiint }_{\Omega }f(r\sin \psi \cos \theta ,r\sin \psi \sin \theta ,r\cos \psi )r^2\sin \psi drd\psi d\theta$$与定义式的关系为$$\{\begin{array}{c}x=r\sin \psi \cos \theta \\ y=r\sin \psi \sin \theta \\ z=r\cos \psi \\ dv=r^2\sin \psi drd\psi d\theta \end{array}$$其中

• r是图形到原点的距离
• $\psi$是图形与z轴的角度，原点为顶点
• $\theta$是图形与$xoy$面投影的夹角，原点为顶点

三重积分的计算法：
1、将三重积分转化为三次积分计算：
在直角坐标系下：$f(x,y,z)$中的z的取值范围可以被$x$、$y$表示为$[z_0(x,y),z_1(x,y)]$，在$x$、$y$平面上，$y$的取值范围可以被$x$表示为$[y_0(x),y_1(x)]$，$x$的取值范围可以表示为$[x_0,x_1]$，则有$${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dv={\int }_{x_0}^{x_1}dx{\int }_{y_0(x)}^{y_1(x)}dy{\int }_{z_0(x,y)}^{z_1(x,y)}f(x,y,z)dz$$

2、将三重积分转化为一个二重积分和一个单积分
在直角坐标系下：$f(x,y,z)$中的$z$的取值范围为$[z_0,z_1]$，$x$、$y$所组成的区域可以表示为区域$D$，则有：$${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dv={\int }_{z_0}^{z_1}dz\iint f(x,y,z)dxdy$$