贝叶斯滤波（一）二维连续型随机变量的条件分布函数与贝叶斯公式

 

一. 二维离散型随机变量的条件分布

 

已知(X, Y)是二维离散型随机变量，其联合概率函数为

        

对于给定的Y = ，则有在Y = 的条件下随机变量X的条件概率函数：

        

通过全概率公式对分母进行展开，可得离散型随机变量的贝叶斯公式：

        

 

看到这里，有许多人就会说由于X, Y的分布是离散的，所以在分母处用的是求和符号，而如果X, Y的分布是连续的，就可以

把分母处换成积分符号，然后就能得到连续型随机变量的贝叶斯公式：

        

是这样的吗？请往下看，虽然结论是对的，但是需要经过一定量的推导才能得出，直接类比过去是没有根据的。

 

二. 二维连续型随机变量的条件分布

在给定Y = 的情况下，随机变量X的条件分布函数记为：

       

在这里我们跟二维离散型进行一个类比，如果把连续型随机变量X的条件分布也写成离散型的格式：

       ，

由于Y是一个连续型随机变量，在Y = y时，P(Y = )发生的概率为0，所以通过条件概率的定义进行

求解连续型随机变量的条件分布是走不通的，是无法进行条件概率计算的。

 

但是我们可以通过极限的做法做一点变形来进行求解，假设，这样就把问题从连续型随机变量在一点Y = 的概率转化为连续型随机变量在这个区域内的概率分布函数：

       

                       

根据联合分布函数与联合概率密度函数关系可知，对联合概率密度函数进行二重积分可得联合分布函数，此处设联合概率密度函数为；

根据边缘分布函数与边缘概率密度函数关系可知，对边缘概率密度函数进行一重积分可得边缘分布函数，此处设边缘概率密度函数为.

                        

（根据积分中值定理可知，存在一个点，可以将含有形式的积分等效为乘积的方式，即等效为这种形式）

                        

分子分母同时约掉一个

                        

因为，且Y是连续随机变量，所以把，代入式子

                        

推导到此处，可以看到积分处仅剩分子对从到对进行积分，分母里面不含有的变量，因此对积分分母可以看做一个常数，所以可以把积分提取出来，最终得到的概率分布函数为

                        

仔细观察等式左右边，都是关于的函数，而左边是一个分布函数，右边又是对一个关于的函数从到进行积分，对

进行积分得到分布函数，因此我们可以得出就为Y=条件下X的条件概率密度函数。

 

对 等式两边同时求导，可得Y=条件下X的条件概率密度函数为

                        

对上式分母的，可以通过全概率公式展开

                        

可以看到该式与离散型随机变量的概率分布是非常相似的，但是相似并不代表可以直接类比，可以看到，我们是经过了相对复杂的推导才得出的结论。