《视觉SLAM十四讲》笔记——第三讲_三维空间刚体运动

第三讲_三维空间刚体运动

如何描述刚体（尺寸有限无形变的固体）在三维空间中的运动

旋转矩阵

点和向量，坐标系

相机可以看作三维空间中的刚体，则，它的位姿：位置由三维坐标表示，姿态？

用向量的外积表示向量的旋转

第一项为行列式，第三项把向量a写成矩阵的形式。

a×b的结果是垂直于ab平面大小为|a||b|sin(a,b)方向满足右手法则的旋转向量。

写成a的反对称矩阵与b相乘，则多次旋转时计算为线性的。

坐标系间的欧氏变换

坐标系是由一组基来表示的，坐标系的旋转，实质上是这组基的旋转。

坐标系旋转前后对同一个点的表示：

两边左乘基矩阵的转置（正交基）

a = Ra’

R为旋转矩阵。a’ = R^-1a = R^Ta

旋转矩阵是一个行列式为1的正交矩阵。反之也成立。

加上平移后：a’ = Ra + t;

旋转矩阵的集合称为特殊正交群。

变换矩阵与齐次坐标

矩阵和向量的乘法表示，向量的变换，是一种线性变换，而加法不是。

把旋转和平移写在一个变换矩阵，三维向量的末尾添1变成四维向量，称齐次坐标，这个四维向量的变换只有矩阵的乘法，即线性变换。

齐次坐标的最后一维可以为任意非零的实数，都表示同一个点。当它为0时表示坐标轴。

变换矩阵的集合称为特殊欧式群。

变换矩阵不是正交矩阵。利用初等变换可以方便求出T的逆矩阵。

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旋转向量和欧拉角

旋转向量

旋转矩阵9个量，旋转3个自由度。

对于坐标系，可用一个旋转轴和一个旋转角描述它的旋转。

旋转向量的长度表示旋转角的大小，方向与旋转轴一致。也称轴角（Axis-Angle）

Rn = n

n是R特征值1对应的向量。

解方程：两边同时乘单位矩阵，行列式为0。

IRn = In

(R - I)n = det(R - I) = 0

旋转向量就是李代数。

欧拉角

偏航角——yaw

俯仰角——pitch

滚转角——roll

三维向量[r, p, y]^T表示任意旋转。rpy角的旋转顺序是ZYX

**万向锁（奇异性）**当pitch角为±90° Z和X的旋转相同。

不会直接应用欧拉角直接表达姿态，转换成欧拉角，可用来快速验证算法的正确性。

四元数

没有不带奇异性的三维向量描述方式（旋转向量、欧拉角……）

四元数紧凑、无奇异。

四元数由一个实部三个虚部构成。三个虚部可用向量表示。

旋转向量：[n_x, n_y, n_z]^T

θ加2Π，四元数变为-q，即任意旋转都可以由两个互为相反数的四元数表示。

用四元数表示旋转

q = [cosθ/2， nsinθ/2]

p’ = qpq^-1 四维——三维