广义容斥-二项式反演-容斥系数

（好久没碰差点忘了，赶快泄个推导

目的是求恰好满足$k$个要求的方案数$P(k)$。

考虑还是用满足至少$i$个条件的式子算，不过要为原来的式子构造容斥系数$\alpha (j)$
$$\sum _{i=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)\alpha (i)Q(i)$$
可以考虑$P(i)$被算了几次。
$$\sum _{i=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)\alpha (i)Q(i)=\sum _{i=0}^{n}P(i)\sum _{j=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j}\right)\alpha (j)$$
目的是强制使得$P(k)={\sum }_{i=0}^{n}P(i){\sum }_{j=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j}\right)\alpha (j)$成立。

所以容斥系数的效果实际上就是
$$\sum _{j=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j}\right)\alpha (j)=[i==k]$$
发现$j>i$时其实没用，变成${\sum }_{j=0}^i\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j}\right)\alpha (j)=[i==k]$

把$\alpha (i)$单独丢出来，发现可以$n^2$搞出每个容斥系数，即
$$\alpha (i)=[i==k]-\sum _{j=0}^{i-1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j}\right)\alpha (j)$$
恰好满足$k$个要求的方案数对应的$\alpha (i)$对应的可以取$\alpha (j)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{k}\right)(-1{)}^{j-k}$。

当$i<k$时式子始终为$0$，当$i\ge k$时有
$$\begin{array}{rl}& \sum _{j=0}^i\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j}\right)\alpha (j)\\ =& \sum _{j=0}^i\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{k}\right)(-1{)}^{j-k}\\ =& \sum _{j=k}^i\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{k}\right)(-1{)}^{j-k}\\ =& \sum _{j=0}^{i-k}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j+k}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{j+k}{k}\right)(-1{)}^j\\ =& \sum _{j=0}^{i-k}\frac{i^{\underline{j+k}}(j+k{)}^{\underline{k}}}{(j+k)!k!}(-1{)}^j\\ =& \sum _{j=0}^{i-k}\frac{i^{\underline{k}}(i-k{)}^{\underline{j}}(j+k{)}^{\underline{k}}}{k!(j+k{)}^{\underline{k}}j!}(-1{)}^j\\ =& \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{k}\right)\sum _{j=0}^{i-k}\frac{(i-k{)}^{\underline{j}}}{j!}(-1{)}^j\\ =& \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{k}\right)\sum _{j=0}^{i-k}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i-k}{j}\right)(-1{)}^j\\ =& [i-k==0]\\ =& [i==k]\end{array}$$
实际上丢二项式反演好用（雾
$$f(n)=\sum _{i=0}^{n}g(i)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)⟺g(n)=\sum _{i=0}^n(-1{)}^{n-i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})f(i)$$

证明

$$\begin{array}{rl}g(n)=& \sum _{i=0}^n(-1{)}^{n-i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})\sum _{j=0}^{i}g(j)(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})\\ =& \sum _{j=0}^{n}g(j)\sum _{i=j}^n(-1{)}^{n-i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\left)\right(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})\\ =& \sum _{j=0}^{n}g(j)\sum _{i=j}^n(-1{)}^{n-i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j}\left)\right(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-j}{i-j})\\ =& \sum _{j=0}^{n}g(j)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j}\right)\sum _{i=j}^n(-1{)}^{n-i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-j}{i-j})\\ =& \sum _{j=0}^{n}g(j)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j}\right)(-1+1{)}^{n-j}\\ =& \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n}\right)g(n)\\ =& g(n)\end{array}$$
所以这个是正确的。

意义：（先证明再说意义还行

$f(n)$一般情况下代表至多满足$n$个条件的方案数，对应地，$g(n)$表示恰好满足$n$个条件的方案数。

当然有时候其实是反过来的，定义$f(i)$是至少满足$i$个约束的方案数，$g(n)$是恰满

足$n$个约束的方案数，那么：

$$g(k)=\sum _{i=k}^n(-1{)}^{i-k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{k})f(i)$$

证明就是一开始提到的构造容斥系数$\alpha (j)$那一坨

暴力带回去说是对的不就行了管他咋构造出来的