ECC加密算法
关键词：
ECC：Elliptic Curve Cryptography (ECC)
基于离散对数的椭圆曲线密码系统提供与RSA类似的安全性，但是具有相对较短的密钥大小。
GF(p) 上的椭圆曲线
素数 p > 3，并且 a,b ∈ GF(p)，在 GF(p) 上使得4a3+ 27b2 ≠ 0 。
在GF(p)上，带参数a和b的椭圆曲线 E 被定义为（x，y）的解集，其中 x, y ∈ GF(p) 满足如下方程：
y2= x3 + ax + b
以及一个额外的点 O 。点的集合 E 形成一个组，并遵守以下规则：
- O + O = O
- (x, y) + O = (x,y)
- (x, y) + (x, -y) = O
- 两个不相等的点相加，x1, ≠ x2：
λ = (y2 - y1) (x2- x1)-1
x3 = λ2 - x1-x2
y3= λ(x1- x3) - y1- 一个点的2倍，x1, ≠ 0 ：
(x1, y1) + (x1, y1)= (x3, y3)
λ = (3x12 + a) (2y1)-1
x3 = λ2 - 2x1
y3 = λ(x1 - x3) - y1
集合 E 是 满足：y2 mod p = (x3 + ax + b) mod p
例子：
假设 a = 1, b = 1, p = 23，则椭圆曲线 E23(1, 1) 上的点如下：
| （0，1） | （6，4） | （12，19） |
| （0，22） | （6，19） | （13，7） |
| （1，7） | （7，11） | （13，16） |
| （1，16） | （7，12） | （17，3） |
| （3，10） | （9，7） | （17，20） |
| （3，13） | （9，16） | （18，3） |
| （4，0） | （11，3） | （18，20） |
| （5，4） | （11，20） | （19，5） |
| （5，19） | （12，4） | （19，18） |
如下是计算过程，以及散点图：
GF(2k) 上的椭圆曲线
最后：
考虑方程 Q = kP，其中Q, P ∈ Ep(a, b) 且 k < p 。
对于给定的 k 和 P 计算 Q 比较容易，而对给定的 Q 和 P 计算 k 则比较困难。这就是椭圆曲线的离散对数问题。