奈奎斯特采样定理下的采样与重建

奈奎斯特采样定理下的采样与重建

首先，我们来了解一下奈奎斯特采样定理的内容

奈奎斯特采样定理揭示了采样信号与原始信号频率之间的信号，它要求采样频率$f_s$必须大于或等于原始信号最高频率分量的两倍，表达式为$f_s\ge 2f_h$

针对这一点，我们可以换个角度来理解。假如要对一个信号进行采样，那么需要满足的要求就是采样频率大于等于被采样信号的最高频率成分的两倍（最好要求是大于两倍，当等于两倍的时候可能会出现一些特殊情况），也就是采样周期需要小于等于被采样信号所有成分中最小周期的一半。
举个例子，假如一个连续正弦信号由频率为10Hz，40Hz，80Hz的三个正弦分量信号构成，那么如果我们想对该信号进行采样，并且使得采样出来的信号点能够代表原来的信号波形，我们需要保证采样频率大于等于160Hz，如此才能够保证用这些采样出来的信号点能够重建回原来的信号波形。

举个MATLAB例子。

这里用的例程中的采样频率分别为fm，2fm，3fm（5Hz，10Hz，15Hz）来尝试对信号进行采样，代码如下：

dt = 0.1; f0 = 1; T0 = 1/f0;
fm = 5*f0; Tm = 1/fm;
t = -2:dt:2;
f = sin(2*pi*f0*t)+1/3*sin(6*pi*f0*t);%连续信号
subplot(4,1,1),plot(t,f);
axis([min(t) max(t) 1.1*min(f) 1.1*max(f)]);
title('original signal and sample signal');
for i = 1:3
fs = i*fm; Ts=1/fs; %确定采样频率和周期
n = -2:Ts:2;
f = sin(2*pi*f0*n)+1/3*sin(6*pi*f0*n);
subplot(4,1,i+1),stem(n,f,'filled');
axis([min(n) max(n) 1.1*min(f) 1.1*max(f)]);
end

效果如下：

可以看到，除了第一个采样信号之外，采样频率为2fm，3fm的采样信号都比较好地还原了原来信号波形的性质。
接着，我们将采样频率定为最高频率成分的1fh，2fh，3fh，得到效果如下：

这个时候，采样频率为fh跟2fh的采样信号以及很难看出原来信号的特性了。