Dijkstra算法，求最短路（dp 动态规划）

•迪杰斯特拉(Dijkstra)算法思想

按路径长度递增次序产生最短路径算法：

把V分成两组：

（1）S：已求出最短路径的顶点的集合

（2）V-S=T：尚未确定最短路径的顶点集合

将T中顶点按最短路径递增的次序加入到S中，

保证：（1）从源点V0到S中各顶点的最短路径长度都不大于

                      从V0到T中任何顶点的最短路径长度

            （2）每个顶点对应一个距离值

                     S中顶点：从V0到此顶点的最短路径长度

                     T中顶点：从V0到此顶点的只包括S中顶点作中间

                                      顶点的最短路径长度

依据：可以证明V0到T中顶点Vk的最短路径，或是从V0到Vk的

            直接路径的权值；或是从V0经S中顶点到Vk的路径权值之和

（反证法可证）

• 求最短路径步骤

– 初使时令 S={V0},T={ 其余顶点}， T 中顶点对应的距离值

» 若存在 ，为 弧上的权值

» 若不存在< V0,Vi> ， 为 µ

– 从 T 中选取一个其距离值为最小的顶点 W ，加入 S

– 对 T 中顶点的距离值进行修改：若加进 W 作中间顶点，从 V0 到 Vi 的距离值比不加 W 的路径要短，则修改此距离值

– 重复上述步骤，直到 S 中包含所有顶点，即 S=V 为止

•算法实现

–图用带权邻接矩阵存储ad[][]

–数组dist[]存放当前找到的从源点V0到每个终点的最短路径长度，其初态为图中直接路径权值

–数组pre[]表示从V0到各终点的最短路径上，此顶点的前一顶点的序号；若从V0到某终点无路径，则用0作为其前一顶点的序号

§每一对顶点之间的最短路径

•方法一：每次以一个顶点为源点，重复执行Dijkstra算法n次—— T(n)=O(n³)

•方法二：弗洛伊德(Floyd)算法

–算法思想：逐个顶点试探法

–求最短路径步骤

»初始时设置一个n阶方阵，令其对角线元素为0，若存在弧，则对应元素为权值；否则为µ

»逐步试着在原直接路径中增加中间顶点，若加入中间点后路径变短，则修改之；否则，维持原值

»所有顶点试探完毕，算法结束

代码实现：

/*Dijkstra求单源最短路径 */ 
#include 
#include
#include
#define M 100
#define N 100
using namespace std;

typedef struct node
{
    int matrix[N][M];      //邻接矩阵 
    int n;                 //顶点数 
    int e;                 //边数 
}MGraph; 

void DijkstraPath(MGraph g,int *dist,int *path,int v0)   //v0表示源顶点 
{
    int i,j,k;
    bool *visited=(bool *)malloc(sizeof(bool)*g.n);
    for(i=0;i0&&i!=v0)
        {
            dist[i]=g.matrix[v0][i];
            path[i]=v0;     //path记录最短路径上从v0到i的前一个顶点 
        }
        else
        {
            dist[i]=INT_MAX;    //若i不与v0直接相邻，则权值置为无穷大 
            path[i]=-1;
        }
        visited[i]=false;
        path[v0]=v0;
        dist[v0]=0;
    }
    visited[v0]=true;
    for(i=1;i0&&min+g.matrix[u][k] s;
    int u=v;
    while(v!=v0)
    {
        s.push(v);
        v=path[v];
    }
    s.push(v);
    while(!s.empty())
    {
        cout<>n>>e&&e!=0)
    {
        int i,j;
        int s,t,w;      //表示存在一条边s->t,权值为w
        MGraph g;
        int v0;
        int *dist=(int *)malloc(sizeof(int)*n);
        int *path=(int *)malloc(sizeof(int)*n);
        for(i=0;i>s>>t>>w;
            g.matrix[s][t]=w;
        }
        cin>>v0;        //输入源顶点 
        DijkstraPath(g,dist,path,v0);
        for(i=0;i

另一种写法：

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int MAX = 105; 

int n,m;//n个点，m条边；
int st,en;//存起点和终点 
vectoredge[MAX]; //存与之相连的点 
int length [MAX][MAX];//存边的长度 
int dis[MAX];
bool vis[MAX];

struct Node{
	int point,distance;
	bool friend operator <(Node a,Node b){
		return a.distance > b.distance;
	}
}pr,np;


void dijkstra(){
	
	memset(dis,INF,sizeof(dis));
	memset(vis,false,sizeof(vis));
	
	dis[st]=0;
	priority_queue Q;
	pr.point=st;
	pr.distance=0;
	Q.push(pr);
	
	while(!Q.empty()){
		
		pr=Q.top();
		Q.pop();
	//	cout<<"==="<>n>>m&&(n||m)){
		st=1;
		en=n;	
		memset(length,INF,sizeof(length));
		for(int i=0;i>x>>y>>z;
			edge[x].push_back(y);//存双向边 
			edge[y].push_back(x);
			if(length[x][y]>z)			 
			length[x][y]=length[y][x]=z;		
		}
		dijkstra();
		cout<