图（四）——单源点最短路径问题：迪杰斯特拉（Dijkstra）算法

定义

路径长度的定义：
1、不带权的图——路径上所经过的边的数目；
2、带权的图——路径上所经过的边上的权值之和；

问题提出

设出发顶点为v（通常称为源点），求源点到图中各个点的最短路径与长度，即单源点的最短路径问题

数据结构

1、图的存储
以1~n 分别代表n个顶点，采用邻接矩阵存储该图：

2、设置一个标志数组s[0…n-1] 记录源点v到图中哪些顶点的最短路径已经找到，如下：

3、设置数组dist[0…n-1] 分别记录源点v 到图中各顶点的最短路径的路径长度， 其中，dist[i]记录源点到顶点i 的最短路径的长度。初始时，dist数组的值为邻接矩阵第v行的n个元素值。（i =0,1, 2, …, n-1 ）

4、设置数组path[0…n-1] 分别记录源点v到图中各顶点的最短路径所经过的顶点序列，其中，path[i]记录源点到顶点i的路径。初始时，path[i]={v}, i =0,1, 2, …, n-1）

算法

1、确定dist、s、path 三个数组的初值；
2、利用s数组与dist 数组在那些尚未找到最短路径的顶点中确定一个与源点v最近的顶点u，并置s[u]为1，同时将顶点u加入path[u]；
3、根据顶点u修改源点到所有尚未找到最短路径的顶点的路径长度， 即
      3.1、将源点v到顶点u的(最短)路径长度分别加到源点v通过顶点u可以直接到达、且尚未找到最短路径的那些顶点的路径长度上。若加后的长度小于原来v 到某顶点r的路径长度，则用加后的长度替换原来的长度，否则，不作替换；
      3.2、若替换，将源点v 到顶点u 的路径(最短路径)上经过的所有顶点替换path[r]；
4、重复上述过程的第2至第3步n–1次。

算法图示如下：


顶点的选择按照路径最小原则，从小到大，即第二步；

Q：对于给定的带权连通无向图，从某源点到图中各顶点的最短路径构成的生成树是否是该图的最小生成树？
A：不是，最短路径与源点的选择有关