MVG（second）读书笔记-2D射影几何和变换

       最近刚买到Multiple View Geometry in Computer Vision 计算机中的多视几何，它是三维重建和视觉SLAM的入门基础的经典教材，内容比较丰富，自己看过一遍，挑一些自己的感兴趣总结一下，如有错误，欢迎指出，非常感谢。

目录

1.点与线

2.二次曲线

3.变换层次

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本部分包括2D射影几何和变化，包括点和直线，二次曲线的齐次表示，还有等距变换，相似变换，仿射变换和射影变换等

1.点与线

 点和直线齐次表示：

 一个点的任何齐次矢量的表示形式是：  

                                                                 

 对应于欧式空间IR2的二维点是：

                                                                         

自由度：平面点有2个自由度         

 欧式空间IR2的一条直线I是：

                                                                  

一条直线任何齐次矢量的表示形式是：  

                                                                        

自由度：平面直线有2个自由度         

无穷原点和无穷线：

无穷远原点：      

无穷远直线：         

欧式空间有限点的三维齐次表示加上无穷远点组成向量空间，成为二维射影空间IP2,有限点和无穷点在射影空间内部一样的对待处理。

基本的性质：

 结论1：点在x上直线上的充要条件是

                                                                   

 结论2：两条直线I和I'交点是

                                                                   

 结论3：过两点x和x'直线I是

                                                                   

证明比较简单，在此就不证明啦

2.二次曲线

非齐次坐标中，二次曲线的方程是：

                                                

这是个二次多项式，通过替换点，x=x1/x3,y=x1/x3,对点进行其齐次化得到为：

                                                                 

其中：

自由度：平面二次曲线有五个自由度

3.变换层次

射影映射（几何定义）： 是IP2到它自身的一种满足下列条件的可逆映射h：三点x1、x2、x3共线，当且仅当h(x1)、h(x2)、h(x3)也共线；射影映射也称为保线变换、射影变换、单应。

射影h:IP2到IP2是射影变换的充要条件是存在一个3x3非奇异的矩阵H，使得IP2的任何一个用矢量x表示的点都满足h(x)=Hx

1.等距变换

等距变换是平面IR2 的变换，它保持欧式距离不变。一个等距变换可以表示为

                                                      

其中.当ε=1那么该等距变换是保向的并且是旋转、平移的复合欧式变换 。如果ε=−1,那么该等距变换是逆向的。欧式变换是刚体运动的模型。
平面欧式变换的简介形式：
                                                           

其中R是正交矩阵,t为二维平移矢量

不变量 长度、夹角、面积；

群和定向 保向的等距变换形成一个群，但逆向的不是。

平面欧式变换有三个自由度，可由两组点对算出（一组点对可得到两个方程）

2.相似变换

相似变换是等距变换和均匀缩放的复合，矩阵表示如下：
                                                          

分块形式：

                                                                

其中s表示均匀缩放。相似变换也叫等形变换，形状保持不变。

不变量： 夹角、两直线长度的比率、两面积的比率

度量结构： 确定到只相差一个相似变换的结构

相似变换有四个自由度，比欧式变换多一个缩放自由度，相似变换可由两组点对算出（一组点对可得到两个方程）。

3.仿射变换

相似变换是非奇异变换和平移变换的复合，矩阵表示如下

                                                                

分块形式：

                                                                     

其中A为2×2的非奇异矩阵。
A线性变换矩阵可以看做两个基本变换——旋转和非均匀缩放的复合

不变量：平行线；平行线段的长度比：面积比

仿射变换有六个自由度，可由三组点对算出。

4.射影变换

射影变换是齐次坐标的一般非奇异线性变换。分块的形式如下：

                                                   

变换矩阵中有九个元素，但只有它们的比率才有意义，因此该变换矩阵中需要确认8个参数。两平面之间的射影变换可由四个点对计算获得。但其中属于同一平面内的三个点必须不共线
不变量 : 射影变换中四共线点的“”交比保持不变，即线段比率的比率保持不变

总结：

参考：

MVG（计算机多视几何）第二版