【博弈】CF-1194D.1-2-K Game

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题目描述

给定一个 n 和 k，一个小兵初始位置在长度为 n 的线段上的第 n 个点，每次可以向左走 1 / 2 / k 格，Alice先移动这个小兵，Bob后移动这个小兵，最后不能移动的人为输家，问谁能获胜。

思路

在没有 k 的情况下考虑
当 n % 3 == 0 时，Bob 必能能走出一种走法使得每次移动到的位置都是3的倍数，Bob必胜状态
当 n % 3 == 1 或者 n % 3 == 2， Alice 必有一种走法使得每次让小兵移动的位置到 3 的倍数上面，把必败态转移给 Bob
加入 k 的状态时，需要考虑两种情况

1. k % 3 != 0

可以直接看成每次移动了 1 格或者 2 格，例如 k = 偶数 的时候，其为 2 的倍数，可以看成是走了多个 2 格的状态，当 k = 奇数 且 k % 3 != 0 时，可以看成走了多个 1 格状态。
所以给状态下 Bob 的必胜态：

if(k % 3 != 0)
	if(n % 3 == 0) 
		puts("Bob");

2. k % 3 == 0

可以知道当在 k 点时，可以直接移动到 0，为必胜态，接下来就需要考虑 k + 1 位置的一个状态。第 k + 1 位置的状态走 1 格到 k 状态会让对手胜，走 2 格走到 k - 1 状态，因为 (k - 1) % 3 != 0，根据最开始分析的三种情况，也是让对手胜，走 k 格到 1 状态，也是让对手胜，所以 k + 1 位置是一个必败点。Bob想要赢就必须要让 Alice 走到这个必败点。根据最先三种情况考虑，要让 Alice 走到 k + 1 点，因为中间有大量的重复路段，其实就是要 Alice 走到 m = n % (1 + k) 这个点，且这个 m 点不能等于 0，结合一下开始的 n % 3 == 0 的状态，Alice必走到这个点的状态就是 m % 3 == 0
最后注意一下这个 m != k，Alice直接获胜

if(k % 3 != 0) {
	int m = n % (k + 1);
	if(m % 3 == 0 && m != k) 
		puts("Bob");
}

代码

#include
using namespace std;

void solve() {
	int n, k;
	cin >> n >> k;
	if(k % 3 != 0) {
		if(n % 3 == 0) {
			puts("Bob");
			return;
		}
	}
	else {
		int m = n % (k + 1);
		if(m % 3 == 0 && m != k) {
			puts("Bob");
			return;
		}
	}
	puts("Alice");
}

int main() {
	int t; scanf("%d", &t); while(t--)
	solve();
	return 0;
}