**在上面的数字三角形中寻找一条从顶部到底边的路径,使得路径上所经过的数字之和最大。
路径上的每一步都只能往左下或 右下走。只需要求出这个最大和即可,不必给出具体路径。
三角形的行数大于1小于等于100,数字为 0 - 99。
输入格式:
5 //表示三角形的行数 接下来输入三角形
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5
要求输出最大和**
首先,肯定得用二维数组来存放数字三角形;
然后我们用D( r, j) 来表示第r行第 j 个数字(r,j从1开始算);
我们用MaxSum(r, j)表示从D(r,j)到底边的各条路径中,最佳路径的数字之和。
因此,此题的最终问题就变成了求 MaxSum(1,1)
当我们看到这个题目的时候,首先想到的就是可以用简单的递归来解题:
D(r, j)出发,下一步只能走D(r+1,j)或者D(r+1, j+1)。故对于N行的三角形,我们可以写出如下的递归式:
if ( r == N)
MaxSum(r,j) = D(r,j)
else
MaxSum( r, j) = Max{ MaxSum(r+1,j), MaxSum(r+1,j+1) } + D(r,j)
#include
#include
#define MAX 101
using namespace std;
int D[MAX][MAX];
int n;
int MaxSum(int i, int j){
if(i==n)
return D[i][j];
int x = MaxSum(i+1,j);
int y = MaxSum(i+1,j+1);
return max(x,y)+D[i][j];
}
int main(){
int i,j;
cin >> n;
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=i;j++)
cin >> D[i][j];
cout << MaxSum(1,1) << endl;
}
#include
#include
using namespace std;
#define MAX 101
int D[MAX][MAX];
int n;
int maxSum[MAX][MAX];
int MaxSum(int i, int j){
if( maxSum[i][j] != -1 )
return maxSum[i][j];
if(i==n)
maxSum[i][j] = D[i][j];
else{
int x = MaxSum(i+1,j);
int y = MaxSum(i+1,j+1);
maxSum[i][j] = max(x,y)+ D[i][j];
}
return maxSum[i][j];
}
int main(){
int i,j;
cin >> n;
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=i;j++) {
cin >> D[i][j];
maxSum[i][j] = -1;
}
cout << MaxSum(1,1) << endl;
}
#include
#include
using namespace std;
#define MAX 101
int D[MAX][MAX];
int n;
int maxSum[MAX][MAX];
int main(){
int i,j;
cin >> n;
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=i;j++)
cin >> D[i][j];
for( int i = 1;i <= n; ++ i )
maxSum[n][i] = D[n][i];
for( int i = n-1; i>= 1; --i )
for( int j = 1; j <= i; ++j )
maxSum[i][j] = max(maxSum[i+1][j],maxSum[i+1][j+1]) + D[i][j];
cout << maxSum[1][1] << endl;
}
#include
#include
using namespace std;
#define MAX 101
int D[MAX][MAX];
int n;
int * maxSum;
int main(){
int i,j;
cin >> n;
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=i;j++)
cin >> D[i][j];
maxSum = D[n]; //maxSum指向第n行
for( int i = n-1; i>= 1; --i )
for( int j = 1; j <= i; ++j )
maxSum[j] = max(maxSum[j],maxSum[j+1]) + D[i][j];
cout << maxSum[1] << endl;
}
• 把原问题分解为若干个子问题,子问题和原问题形式相同或类似,只不过规模变小了。子问题都解决,原问题即解决(数字三角形例)。
• 子问题的解一旦求出就会被保存,所以每个子问题只需求 解一次。
• 在用动态规划解题时,我们往往将和子问题相关的各个变量的一组取值,称之为一个“状 态”。一个“状态”对应于一个或多个子问题, 所谓某个“状态”下的“值”,就是这个“状 态”所对应的子问题的解。
• 所有“状态”的集合,构成问题的“状态空间”。“状态空间”的大小,与用动态规划解决问题的时间复杂度直接相关。 在数字三角形的例子里,一共有N×(N+1)/2个数字,所以这个问题的状态空间里一共就有N×(N+1)/2个状态。
以“数字三角形”为例,初始状态就是底边数字,值就是底边数字值。
定义出什么是“状态”,以及在该“状态”下的“值”后,就要找出不同的状态之间如何迁移――即如何从一个或多个“值”已知的 “状态”,求出另一个“状态”的“值”(递推型)。状态的迁移可以用递推公式表示,此递推公式也可被称作“状态转移方程”。
数字三角形的状态转移方程:
1) 问题具有最优子结构性质。如果问题的最优解所包含的 子问题的解也是最优的,我们就称该问题具有最优子结 构性质。
2) 无后效性。当前的若干个状态值一旦确定,则此后过程的演变就只和这若干个状态的值有关,和之前是采取哪种手段或经过哪条路径演变到当前的这若干个状态,没有关系。