第一节：MATLAB基础运算（矩阵运算，方程求解，积分变换，画图）
第一节：MATLAB基础运算（矩阵运算，方程求解，画图，积分变换）
MATLAB是控制系统设计的一个重要工具，本系列文章将matlab中和控制系统相关的内容罗列出来，上半部分的内容如下：
第一节主要介绍MATLAB中一些基础的应用，包括矩阵运算，方程求解，画图，积分变换等。
第二节介绍系统的模型建立，包括传递函数模型，状态方程模型，离散模型，框图模型，以及系统辨识。
第三节介绍系统的性能分析，包括稳定性分析，动态性能分析，不同域的解析解，根轨迹，频率分析等。
第四节为simulink仿真练习。
矩阵运算
特征值的求解
控制系统稳定性的条件是所有闭环极点在复平面的左边，也就意味着系统矩阵所有的特征值为负数，所以特征值的求解尤其重要。
采用eig(A)可以得到特征值：
A = [0, 1; -2, -3];
R = eig(A);
得到结果：
-1
-2
同时也可以得到对角矩阵和右特征向量：
[V, D] = eig(A);
%其中 AV = VD
poly()函数求特征多项式：
p = poly(A);
disp(p);
%输出特征多项式的系数：
1 3 2
矩阵的秩
控制系统中我们会讨论系统的能控性和能观性，要求出能控性矩阵和能观性矩阵的秩。
用rank()函数，返回矩阵的秩：
r = rank(A);
%输出 2
矩阵的逆
线性变换会用到逆矩阵，通过inv()函数：
inv_A = inv(A);
disp(inv_A);
%输出
-1.5000 -0.5000
1.0000 0
矩阵指数
在求解状态方程的解析解时，先求出零输入响应。零输入响应由状态转移矩阵和初始状态相乘得到，而状态转移矩阵是矩阵指数函数。
矩阵指数函数可以直接由expm()函数求得：
e = expm(A*t);
方程求解
Lyapunov方程的求解
对于线性定常系统，其稳定的充要条件是李雅普诺夫方程有一个正定解矩阵p，从而p可作为李雅普诺夫函数的正定二次型矩阵。
定理：对于任意给定的正定矩阵-Q，若存在正定矩阵P满足李雅普诺夫方程，则系统渐进稳定。
AP + PAT = -Q
求解方法：
%连续域
P = lyap(A, Q);
%离散域
P = dlyap(A, Q);
Riccati方程的求解
对于线性时变系统，其稳定性通过求解Riccati方程中的P矩阵得到，要求是P矩阵必须是正定矩阵。
ATP + PA - PBP+ C = 0
P = are(A, B, C)
一阶常系数微分方程求解
- 数值解
第一种方法是求解数值解（也就是画出解的图像），用得最多的函数是ode45()函数，可以直接通过函数调用，效果比较理想。ode45属于变步长方法的一种，采用龙格-库塔算法(Runge-Kutta)，同样的还有ode23等。
[t, x] = ode45(fun, span, x0, options);
其中：
左边[t, x]，t是时间点的列向量，x是求解的列向量，两者可画出解的图像。
参数fun是函数文件名，在函数文件中将微分方程进行变量替换(变换类似于状态空间模型)。
参数span接收时间的区间，是由一个个离散的时间点组成的向量。
参数x0接收初始条件。
接下来给出一个例子：
%函数文件的定义
function dtheta = odefun(t, theta)
%......省略，用于得到一个和theta有关的函数f_theta%
dtheta = (5 - 5*exp(-t/10))/f_theta;
end
调用ode函数求解
tspan = 0 : 0.1: 100; %时间区间
theta0 = 0; %初始条件
[t, theta] = ode45('odefun', tspan, theta0); %调用函数
plot(t, y); %作图
- 解析解
dsolve()函数用于求常微分方程的精确解。
y = dsolve('eq1, eq2', 'cond1, cond2', 'name')
第一个参数是微分方程(组)。
第二个参数是边界条件。
第三个参数是变量的名称。
例：求解: 10U’ + U = 5。
y = dsolve('10*DU + U = 5', 'U(0) = 0', 't');
disp(y);
%输出：5 - 5*exp(-t/10)
积分变换
积分变换是控制理论中非常重要的概念，主要的变化有拉普拉斯变换和z变换。
Laplace变换
拉普拉斯变换是傅立叶变换的普遍形式，将时间域中的函数表达转换成复域表达，传递函数模型就是微分方程通过拉普拉斯变换得来的。
- 正变换
用laplace()函数实现：
f = 1 - (1 + a*t)*exp(-a*t);
laplace(f);
%输出：1/s - 1/(a + s) - a/(a + s)^2
- 反变换
采用ilaplace()函数实现。
syms s;
G = 1/s - 1/(a + s) - a/(a + s)^2;
y = ilaplace(G);
disp(y);
%输出：1 - a*t*exp(-a*t) - exp(-a*t)
z变换
z变换是对于离散系统采用的积分变换，通过差分方程的z变换可以的到离散系统的传递函数。
- 正变换
采用ztrans()函数。
syms n z;
gn = 6*(1 - (1/2)^n); %需要变换的序列
G = simplify(ztrans(gn));
disp(G);
%输出：(6*z)/(z - 1) - (6*z)/(z - 1/2)
- 反变换
采用iztrans()函数。
syms n z;
gz = (6*z)/(z - 1) - (6*z)/(z - 1/2);
inv_gz = iztrans(gz);
disp(inv_gz);
%输出：6 - 6*(1/2)^n
画图
画图分为二维图形和三维图形。
- 二维图形的绘制
绘图：
plot(x1, y1, linespec1…)
其中：
x1, y1为横纵坐标。
linespec是这条曲线的特点，比如颜色，线形，标记符号。
线形包括：’-’, ‘–’, ‘-.’。
颜色包括：‘b’, ‘g’, ‘m’, ‘w’, ‘c’, ‘k’…
点的标记符号：‘’，‘.’，‘x’，‘o’…*
图形修饰：
title(’***** ’)，定义标题。
xlabel(’******’)，定义横坐标名称。
ylabel(’******’)，定义纵坐标名称。
创建子图：
subplot(221)，2乘2的子图中的第一个图。
- 三维图形的绘制
三维曲线的绘制：
用plot3()函数绘制三维曲线，可用于描述空间质点的运动轨迹。
plot3(x1, y1, z1, option1.....);
三维曲面的绘制：
对于二元函数z = f(x, y)，它的图像是空间坐标系下的三维曲面，绘制曲面必须先用meshgrid()函数生成网格，网格内所有的点代入函数中才能得到图形，类似于等高线图，采用surf()函数绘制。
[x, y] = meshgrid(-5:0.1:5); %生成网格
z = (x.^2 - 2*x).*exp(-x.^2 - y.^2 - x.*y);
surf(x, y, z);