牛客网暑期ACM多校训练营（第一场） B Symmetric Matrix

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64bit IO Format: %lld

题目描述

Count the number of n x n matrices A satisfying the following condition modulo m.
* A _{i, j} ∈ {0, 1, 2} for all 1 ≤ i, j ≤ n.
* A _{i, j} = A _{j, i} for all 1 ≤ i, j ≤ n.
* A _{i, 1} + A _{i, 2} + … + A _{i, n} = 2 for all 1 ≤ i ≤ n.
* A _{1, 1} = A _{2, 2} = … = A _{n, n} = 0.

输入描述:

The input consists of several test cases and is terminated by end-of-file.
Each test case contains two integers n and m.

输出描述:

For each test case, print an integer which denotes the result.

输入例子:

3 1000000000
100000 1000000000

输出例子:

1
507109376

PS：这次比赛一题滚粗 受到了深深地打击。。。。。。。

题意： 给出一个矩阵 矩阵每行的和必须为2 且是一个沿右对角线对称的矩阵 问你大小为n的这样的合法矩阵有多少个。

解题思路：
题目给出的合法矩阵是一个类似与邻接矩阵的样式。 所以应该往这方面去考虑。
每行之和等于2 , 代表每个点都连有两条边，可以有重边 不能有自环。
这说明 每个点属于且仅属于一个环。
因为输入只有一个n
应该要往dp递推的方向上去想。

现在开始找递推式。
定义dp[n]表示n个点构成的合法图的方案数。
思考每加入一个新球，如何从已知状态转移。
考虑从前面的n-1个球中选取一些球和新球组成一个环。
特殊考虑只取一个旧球的情况，
这种情况下这个旧球有n-1种方案 剩下的n-2个球组成的合法方案数已经求出。
所以这种情况下 方案数为(n-1)f(n-1)
推广到一般情况
当我们取k个旧球与新球组成环时，旧球的取法有C(n-1,k) 取出的旧球与新球组成环的方案数有(n-1-k)！种
但是考虑对称性 需要除以2。 又考虑到只取一个球的时候不需要考虑对称性 ，所以把这种情况单独摘出来考虑。
最后得到 dp[n]的递推式就是
dp[n] = (n-1) dp[n-2] + sigma(x:2->n-3)((n-1)!/(2*x!)dp[x])
但是这个东西有一个讨厌的sigma 我们可以通过相减的方法来消除这个sigma。

化简过程如下

感觉智商受到了成吨的打击

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long long LL;
const int MAX=1e5+19;
int MOD;
long long dp[MAX];
int main() {
    int n;
    dp[2]=dp[3]=1;
    while(cin>>n>>MOD){
        for(long long i=4;i<=n;i++){
            dp[i]=(((i-1)*(dp[i-1]+dp[i-2]))%MOD-((i-1)*(i-2)/2*dp[i-3])%MOD+MOD)%MOD;
        }
        cout<return 0;
}