[蓝桥杯]常用算法-穷举法

穷举法又称为枚举法，它是在计算机算法设计中用得最多的一种编程思想。它的实现方式是：在已知答案范围的情况下，依次地枚举该范围内所有的取值，并对每个取值进行考查，确定是否满足条件。经过循环遍历之后，筛选出符合要求的结果来。这种方法充分利用了计算机运算速度快的特点，思路简单直接，能够解决大部分的问题。

什么样的问题适合使用穷举法来解决呢？归纳起来，遇到了如下的三种情况，将优先考虑使用穷举法：

1. 答案的范围已知：

虽然事先并不知道确切的结果，但能预计到结果会落在哪个取值范围内。譬如说：

①求1－100之间所有的素数： 无论结果如何，都在1－100的范围之内。

②求2000－2015年间有几个月的13号是周日？这15年间共有180个月，月份的个数最多不会超过180

③验证1000以内的哥德巴赫猜想：即找出1000之内所有的合数，看是否能够分解为两个质数之和

。。。。。。

如果仔细观察，将会发现许多题目的结果范围都是已知的，都可以使用穷举法来实现。

2. 答案的结果是离散的，不是连续的。如果要求出1－2之间所有的小数，就无法用穷举法来实现，因为其结果是无限连续的。

3. 对时间上的要求不严格。蓝桥杯比赛中的许多题目对于算法的设计是有时间要求的，有时会非常苛刻。如果用穷举法则耗时过长，不可取。例如求出21位的水仙花数，使用穷举法可能会花费30分钟的时间。而蓝桥杯试题通常要求时间限制在1秒钟之内完成，少数会延长至3分钟。在这种情况下，必须使用新的算法来解决问题。

下面举个经典的例子：

100块砖100人来搬，男人一人搬4块，女人一人搬3块，小孩3人抬一块，问男，女，小孩各几人？

若设男，女，小孩人数分别为X， Y， Z，则只能够列出两个等式： X+Y+Z＝100  4*X+3*Y+Z/3＝100 。三个未知数两个等式，无法求解。这就只能够使用穷举法来实现，具体做法如下：

先确定每种类型人员的数量的取值范围，由题意可知，男人X的取值范围是0~100/4＝25 女人Y的取值范围是0~100/3＝33 小孩的取值范围是0~99（必须不大于100且为3的倍数）。使用穷举法遍历所有可能的取值结果，逐一判断筛选出正确的结果。编程如下：

for(int x=0; x<=25; x++)

for(int y=0; y<=33; y++)

  for(int z=0; z<=99; z+=3)

    if((x+y+z==100)&&(4*x+3*y+z/3==100)) 

{输出找到的结果}

如果仔细分析一下，就会发现由于x+y+z==100，那么只需要考虑x和y的遍历取值；z值可以通过100－x - y来实现。当然，z值是3的倍数，上述代码可修改如下：

for(int x=0; x<=25; x++)

for(int y=0; y<=33; y++)

  {    

int z = 100 - x - y;

if((z%3==0)&&(4*x+3*y+z/3==100)) 

{输出找到的结果}

}

 

从这道题的解决过程中，我们可以发现使用穷举法的一般过程：

确定需要哪几个变量，此题需要3个变量x，y， z  如果是其它的题目，所需变量的个数与类型有可能不尽相同，这个要由具体情况而定。

确定每个变量的取值范围，如上例之中X的范围是0~25， y的取值范围是0~33， z的取值范围是0~33

设置多层的嵌套循环，通常为for循环，最内层之中设置条件判断，满足输出条件时，输出相关的提示信息。

再来一道可以使用穷举法解决的问题：

有一群海盗（不多于20人），在船上比拼酒量。过程如下：打开一瓶酒，所有在场的人平分喝下，有几个人倒下了。再打开一瓶酒平分，又有倒下的，再次重复...... 直到开了第4瓶酒，坐着的已经所剩无几，海盗船长也在其中。当第4瓶酒平分喝下后，大家都倒下了。 等船长醒来，发现海盗船搁浅了。他在航海日志中写到：“......昨天，我正好喝了一瓶.......奉劝大家，开船不喝酒，喝酒别开船......”

 请你根据这些信息，推断开始有多少人，每一轮喝下来还剩多少人。 如果有多个可能的答案，请列出所有答案，每个答案占一行。格式是：人数,人数,...

 例如,有一种可能是：20,5,4,2,0

蓝桥杯中的许多题目都会提供一个答案的示例，通过分析这个示例可以加深对当前这道题的理解。以本题为例，通过研究示例答案可以看出如下的特点：

（1）答案只可能有4个数，分别代表每轮参与的人数，最后的0是固定的。

（2）每轮的人数是不断减少的，下一轮只能够比上一轮人数更少。

（3）每轮人数被1除之后，累加和是1（刚好一瓶酒）

即 1/20+1/5+1/4+1/2=1

根据上述的分析，可以确定如下的变量s1, s2, s3, s4分别代表每轮的人数。

这四个变量的取值范围分别是 1≤s1≤20   1≤s2≤s1   1≤s3≤s2       1≤s4≤s3  据此来设置4层的嵌套循环,并加上最内层的条件判断如下：

for(int s1=1; s1<=20; s1++)

for(int s1=1; s1<=20; s1++)

for(int s1=1; s1<=20; s1++)

for(int s1=1; s1<=20; s1++)

if(1/s1+1/s2+1/s3+1/s4==1){输出结果} 

理论上来看是正确的，但实际运行时，由于/运算符在左右两边均为整数时，表示整除而不是除法，所以上述的条件判断需要改写为更复杂的形式：

(s1*s2*s3+s1*s3*s4+s1*s3*s4+s2*s3*s4)/(s1*s2*s3*s4)==1

 

  根据笔者指导蓝桥杯的经验，至少有三分之一的问题都可以通过穷举的方法来实现，因此，把穷举法练习使用好，意义非常重大。

 

作业：

   （1） 换分币： 将5元的人民币兑换成1元，5角和1角的硬币，共有多少种不同的兑换方法？

   （2） 找完数： 求1~100内完数的个数。 如果一个数等于它的因子之和，则称该数为完数（或“完全数”）。例如，6的因子为1，2， 3 而6＝1+2+3 ， 因此6是完数

（3）找自守数：自守数是指一个数的平方的尾数等于该数自身的自然数。例如：5*5=25; 25*25=625; 76*76=5776; 9376*9376=87909376, 求100000以内的自守数。