浅谈单调队列

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前置知识：

简单 \(\text{dp}\)，队列。

首先我们看一道题目：原题链接

简要题意：

给定一个长为 \(n\) 的数组，要求 不能选连续超过 \(m\) 个数，问选出数的最大值。

\(n \leq 10^5 , a_i \leq 10^9\).

注：本题将作为 作者讲解单调队列优化 \(\text{dp}\) 的引子题。

\(\mathcal{O}(nm)\) 的 \(\text{dp}\)

首先我们考虑用 \(f_i\) 来表示 \([1,i]\) 的答案，但是你会发现一个问题：你不知道 \(i\) 选不选，就意味着你不知道 前面能选 \(m\) 个还是只能选 \(m-1\) 个（连续），无法进行操作。

于是我们用 \(f_{i,0}\) 表示 \([1,i]\) 中 不选 \(i\) 的答案。

\(f_{i,1}\) 表示 \([1,i]\) 中 选 \(i\) 的答案。

这样我们可以列出这样的状态转移方程：

\[\begin{cases} f_{i,0} = \max(f_{i-1,0} , f_{i-1,1}) \\ f_{i,1} = \max_{x=i-m}^{i-1} (f_{x,0} + \sum_{j=x+1}^i a_j)\\ \end{cases}\]

只需要先算出 \(f_{i,0}\)，再算 \(f_{i,1}\)，可以保证无后效性。这样一个可实现的 \(\text{dp}\).

可是这时间复杂度是 \(\mathcal{O}(nm^2)\) 的，无法通过。

一个显然的优化，用 \(s\) 表示 \(a\) 的前缀和，这样就变成了：

\[\begin{cases} f_{i,0} = \max(f_{i-1,0} , f_{i-1,1}) \\ f_{i,1} = \max_{x=i-m}^{i-1} (f_{x,0} + s_i - s_x)\\ \end{cases}\]

时间复杂度会是 \(\mathcal{O}(nm)\)，仍然无法通过。

那么如何优化这个 \(\text{dp}\) 呢？

你考虑到 \(f_{i,1}\) 的决策实际上是连续的一段：\([i-m , i-1]\) 区间。

所以我们可以用 单调队列优化。

模板题：单调队列优化 \(\text{dp}\)

单调队列有啥用？

首先，我们知道，队列里可以有很多元素。

下面我们将用集合的形式来表示队列或数组，如 \(\{ 1,2,4\}\) 则表示队列中依次有元素 \(1,2,4\)，或者是一个长度为 \(3\) 的序列，其元素依次为 \(1,2,4\).

假设我们有一个队列 \(\{ a_1 , a_2 \cdots a_n\}\)，你会发现，如果你要从其中取出一个 最大值，此时你必须遍历队列（你需要用另一个数据结构存储 \(a\)，并将队列一个个弹出，然后再重新维护 \(a\)），需要 \(\mathcal{O}(n)\).

那么这样一道题目就来了：

\(n\) 个数，给定 \(m\)，对每个 \(1 \leq i \leq n\)，求 \(\max_{j= \max(1,i-m+1)}^{i} a_j\).
数据范围：\(n,m \leq 2 \times 10^7\)，\(a\) 给出随机生成器（略）。
时间限制：\(500ms\).

本质就是求连续 \(m\) 个数的最大值。

诚然你可以用 \(f_i\) 表示答案，然后 \(\mathcal{O}(nm)\) 求出。

当然你也可以用高级数据结构（线段树等）来维护连续一段的最大值，这样是 \(\mathcal{O}(n \log m)\).

但是限于本题 \(2 \times 10^7\) 的数据，无法通过。

我们需要一个 \(\mathcal{O}(n)\) 的算法。

这时，单调队列的应用就到了。

单调队列是啥？

首先我们要知道单调队列是什么。

对于一个队列 \(q\) 中的元素 \(\{ a_1 , a_2 \cdots a_n\}\)，如果在操作时能 时时保证 \(a\) 的有序性，则 \(q\) 为单调队列。

通常，我们有 priority_queue 来实现，需要单次 \(\log\) 的复杂度。如果用堆也一样。

但是，现在，对于 连续一段数的极值，我们可以用特殊的方式实现。

单调队列的维护（引子）

我们用单调队列来维护 对当前位置有决策性作用的节点。

比方说一个数组 \(\{3 , 2 , 1\}\)，对 \(1\) 有决策性作用的节点有 \(3,2,1\).

但是数组 \(\{1 , 2 , 3\}\)，对 \(3\) 有决策性作用的节点就只有 \(3\).

• 如何理解？

对已经失去决策性作用的节点，出队；否则入队。

• 什么是失去决策性作用？

这样可以做到 \(\mathcal{O}(n)\) 的维护。

• 这些都是啥？

单调队列的维护（正题）

下面我们用一个例子来解释。

对于 \(\{ 1,4,3,5,2\}\) 求解上述问题，\(m=3\)，如何快速得解呢？

起初单调队列为空。

然后，对于 \(1\) 号节点，显然决策只有一个：

所以 \(f_1 = 1\)，这是显然的。

此时 \(a_2 = 4\) 进来了，我们发现，对于 \(i \geq 2\) 的节点 \(a_2 > a_1\)，所以称 \(a_1\) 失去了决策性作用。因为只要 \(a_1\) 会被取到，那么 \(a_2\) 也会被取到，而 \(a_2 > a_1\)，所以 \(a_1\) 已经失去了决策性。

那么我们把 \(\text{front} - a_1\) 踢出。

\(2-4\) 表示 \(a_2 = 4\).

这时 \(f_2 = 4\)，显然。

下面 \(a_3 = 3\) 进队之后，\(3\) 有没有必要弹出呢？如果弹出，\(3\) 在队尾又如何弹出呢？

不需要。因为，此时尽管 \(a_2 > a_3\)，但对于 \(i \geq 3\)，并不是当 \(a_3\) 能被取到时，\(a_2\) 就会被取到。因为 \(a_5\) 的决策会来自 \(a_3\) 而不是 \(a_2\)，所以不应弹出 \(a_3\)，也不应弹出 \(a_2\)，就把 \(a_3 = 3\) 插入在队尾。

然后你会发现 \(\text{front}\) 永远维护最大值。因为如果队头不是最优的，显然 队头比其它任何节点下标小，所以队头还在只能说明它是最优的，否则它就会失去决策性。

这样，\(f_3 = 4\).

下面 \(a_4 = 5\)，显然 \(4\) 和 \(3\) 都可以卷铺盖走人了，因为 \(5 > 4 > 3\),社会的竞争如此激烈。

这样的话，\(f_4 = 5\)，没有问题。

然后 \(a_5 = 3\) 进来之后，一样的道理，同时保留 \(5\) 和 \(3\).

此时 \(f_5 = 5\).

所以对于数组 \(\{ 1,4,3,5,2\}\)，对应的 \(f\) 为 \(\{ 1,4,4,5,5\}\)，没有问题。

初学者大概都会问：

• queue 还是 priority_queue 呢？

诚然是 queue，因为 对决策性的操作 已经保证了单调性，如果用优先队列反而会多一个 \(\log\) ！

例题和配套代码

实际上，上面的题目仅仅是 洛谷 \(\text{P1440}\) 的一个改版，把最小值改成了最大值而已。

Link 代码

顺便说一句，这个题似乎 \(\mathcal{O}(n \log m)\) 的微妙卡常是可以通过的

回归正题

说了这么多，希望你也知道单调队列优化 \(\text{dp}\) 大概是个啥了吧。

回归这题的转移方程式：

\[\begin{cases} f_{i,0} = \max(f_{i-1,0} , f_{i-1,1}) \\ f_{i,1} = \max_{x=i-m}^{i-1} (f_{x,0} + s_i - s_x)\\ \end{cases}\]

而 \(s_i\) 是不变的，实际上可以变形为：

\[\begin{cases} f_{i,0} = \max(f_{i-1,0} , f_{i-1,1}) \\ f_{i,1} = s_i + \max_{x=i-m}^{i-1} (f_{x,0}- s_x)\\ \end{cases}\]

\(f{i,1}\) 的决策是连续的一段，只需要用单调队列取出 \(f_{x,0} -s_x\) 最大的节点即可。

Link 代码

课后习题

洛谷 \(\text{P2032}\)