矩阵快速幂-Reading comprehension HDU - 4990
Reading comprehension HDU - 4990
题目：
Read the program below carefully then answer the question.
#pragma comment(linker, “/STACK:1024000000,1024000000”)
#include
#include
#include
#include
#include
#include
const int MAX=100000*2;
const int INF=1e9;
int main()
{
int n,m,ans,i;
while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
{
ans=0;
for(i=1;i<=n;i++)
{
if(i&1)ans=(ans2+1)%m;
else ans=ans2%m;
}
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}
Input
Multi test cases，each line will contain two integers n and m. Process to end of file.
[Technical Specification]
1<=n, m <= 1000000000
Output
For each case，output an integer，represents the output of above program.
Sample Input
1 10
3 100
Sample Output
1
5
题意：
写出一个输入输出符合已知代码的新代码。
有递推式：
A 0 = 0 A_{0}=0 A0=0
A n = 2 A n − 1 + 1 A_{n}=2A_{n-1}+1 An=2An−1+1，n为奇数----n>=1
A n = 2 A n − 1 A_{n}=2A_{n-1} An=2An−1，n为偶数----n>=2
现输入n和m，求 A n A_{n} An对m取模后的值
显然不能得到相邻两项的一个递推式，但是间隔一项的递推关系是可以得出的，也就是相邻三项的关系。
A 2 k + 1 = 2 A 2 k + 1 = 2 （ 2 A 2 k − 1 ） + 1 = 4 A 2 k − 1 + 1 A_{2k+1}=2A_{2k}+1=2（2A_{2k-1}）+1 = 4A_{2k-1}+1 A2k+1=2A2k+1=2（2A2k−1）+1=4A2k−1+1 ①
= A 2 k + A 2 k + 1 = A 2 k + 2 A 2 k − 1 + 1 = A_{2k}+A_{2k}+1 = A_{2k}+2A_{2k-1}+1 =A2k+A2k+1=A2k+2A2k−1+1 ②
方案一 —矩阵快速幂
由②式，我们容易得到 A n = A n − 1 + 2 A n − 2 + 1 A_{n}=A_{n-1}+2A_{n-2}+1 An=An−1+2An−2+1
于是构造变换矩阵M:
∣ 0 2 0 1 1 0 0 1 1 ∣ \begin{vmatrix} 0 & 2 &0\\ 1 & 1 & 0\\ 0 & 1& 1 \end{vmatrix} ∣∣∣∣∣∣010211001∣∣∣∣∣∣
那么可得：
∣ A n − 2 A n − 1 1 ∣ \begin{vmatrix} A_{n-2} & A_{n-1} & 1 \end{vmatrix} ∣∣An−2An−11∣∣ · ∣ 0 2 0 1 1 0 0 1 1 ∣ = ∣ A n − 1 A n 1 ∣ \begin{vmatrix} 0 & 2 &0\\ 1 & 1 & 0\\ 0 & 1& 1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} A_{n-1} & A_{n} & 1 \end{vmatrix} ∣∣∣∣∣∣010211001∣∣∣∣∣∣=∣∣An−1An1∣∣
因此我们利用快速幂模板求出Mn-2，再乘上矩阵 ∣ A 1 A 2 1 ∣ \begin{vmatrix} A_{1} & A_{2} & 1 \end{vmatrix} ∣∣A1A21∣∣ 即可
代码：
#include方案二 —递归求等比数列
对于①式：
A 2 k + 1 = 4 A 2 k − 1 + 1 （ k > = 1 ) ， A 1 = 1 A_{2k+1} = 4A_{2k-1}+1 （k>=1)，A_{1}=1 A2k+1=4A2k−1+1（k>=1)，A1=1。
得到 A 2 k − 1 = 1 + 4 + 4 ² + . . . + 4 k − 1 A_{2k-1}=1+4+4²+...+4^{k-1} A2k−1=1+4+4²+...+4k−1
而当n是偶数时，我们将 A n − 1 A_{n-1} An−1乘2即可
我们可以从数列求和的角度考虑
递归求等比数列模板
ll cal(int p,int n){ ///这里是递归求解等比数列模板 1+p+p^2...+p^n
if(n==0) return 1;
if(n&1){//(1+p+p^2+....+p^(n/2))*(1+p^(n/2+1));
return (1+quick_pow(p,n/2+1))*cal(p,n/2)%mod;
}
else { //(1+p+p^2+....+p^(n/2-1))*(1+p^(n/2+1))+p^(n/2);
return (quick_pow(p,n/2)+(1+quick_pow(p,n/2+1))*cal(p,n/2-1))%mod;
}
}
代码：
#include 方案三 —直接计算等比数列求和公式
当然也可以利用等比数列求和公式
A 2 k − 1 = 1 + 4 + 4 ² + . . . + 4 k − 1 A_{2k-1}=1+4+4²+...+4^{k-1} A2k−1=1+4+4²+...+4k−1
A 2 k − 1 = 4 k − 1 3 A_{2k-1}=\frac{4^k-1}{3} A2k−1=34k−1，用 k = n + 1 2 k=\frac{n+1}{2} k=2n+1 代入得到 A n = 2 n + 1 − 1 3 A_n=\frac{2^{n+1}-1}{3} An=32n+1−1（n为奇数）
但是对于除数求余，考虑如下性质：
代码：
#include