2019牛客暑期多校训练营（第十场）G Road Construction 不算几何的思维几何

题目链接： https://ac.nowcoder.com/acm/contest/890/G

题意：

给你300个二维平面上的点，要你找出一条直线使得，所有点到这条直线的最小距离最大，要你输出这个最大的最小距离。

做法：

这道题在题解里面给出了一个“优美”的结论： 最优的直线一定平行或垂直于两个点的连线。 这是为什么呢，我们考虑这个最短的距离$mindis$，如果只是和一个点 $p_i$ 的距离，那么我们还可以经过平移使得这条线远离这个点，增大最小距离，直到到了和另一个点 $p_j$ 的距离相等，并且再平移之后会使得两个点中的任一一个点的距离变小，这个时候的答案就是我们想要的了，垂直情况也是很容易考虑的，只有两个点就是了嘛对叭。

这个时候题解发话：枚举最优直线斜率（最多有 $n^2$ 个），然后用 $k_{th}-element$ 找到以这条直线排序的中间两个点，答案即两个点到该直线的距离差除以2。

我相信肯定有人看到这个 $k_{th}-element$ 的时候和我一样懵…什么意思…然后这个时候我就要贴出供我理解的图了。

相信枚举斜率这件事情大家都能懂了，但是要怎么计算答案呢。在上面的图中，我们能看得出，在任一一个斜率之下，我们都已知所有点的坐标，那么根据直线 $y=kx+b$ 我们就可以得到 $b_i=y_i-k{x}_i$ ，在这个斜率下，我们得到了所有的常数 $b_i$ ，从上面的图中我们能看得出比例关系吧，那就除以 $sqrt(k^2+1)$ 就是两个点在这个斜率下的距离了，所以我们只要找到中间两个的距离差除以2就好啦！

代码

#include
#define rep(i,a,b) for(int i=(int)a;i<=(int)b;i++)
using namespace std;
const int maxn = 305;
typedef long long ll;
double x[maxn],y[maxn];
double tmp[maxn],ans;
int n;
void Cal(double k){
    rep(i,1,n) tmp[i]=(y[i]-k*x[i])/sqrt(k*k+1);
    sort(tmp+1,tmp+1+n);
    ans=min(ans,(tmp[n/2]-tmp[n/2+1])/2);
}
int main(){
    ans=1e9;
    scanf("%d",&n);
    rep(i,1,n) scanf("%lf%lf",&x[i],&y[i]);

    for(int i=2;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<i;j++){
            if(x[i]==x[j]&&y[i]==y[i]) continue;
            double k=(y[i]-y[j])/(x[i]-x[j]);
            Cal(k);
            k=-1.0/k;
            Cal(k);
        }
    }
    sort(x+1,x+1+n);
    sort(y+1,y+1+n);
    ans=min(ans,(x[n/2]-x[n/2+1])/2);
    ans=min(ans,(y[n/2]-y[n/2+1])/2);
    printf("%.12f\n",fabs(ans));
    return 0;
}