按位与(&)、按位或(|)、按位异或(^)、按位取反(~)、线性基

按位与（&） and

计算方法：
参加运算的两个数，换算为二进制（0、1）后，进行与运算。只有当相应位上的数都是1时，该位才取1，否则该为为0。

按位或（|） or

计算方法：
参加运算的两个数，换算为二进制（0、1）后，进行或运算。只要相应位上存在1，那么该位就取1，均不为1，即为0。

按位异或（^） xor

计算方法：
参加运算的两个数，换算为二进制（0、1）后，进行异或运算。只有当相应位上的数字不相同时，该为才取1，若相同，即为0。

按位取反（～） not

计算方法：
参加运算的两个数，换算为二进制（0、1）后，0变1，1变0。

优先级

not>and>xor>or

位运算详解

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2019.7.30学习线性基更新

一些位运算中的简便运算

• x & 1 是奇数返回1，是偶数返回零，可以放在if中判断奇偶
• x |= 1<
• x<<2 x<<1 在十进制中表现的是乘上2的多少次方，在二进制中，就是先将这个x转换为二进制，然后整个数往前移位。（最后转化回去还是一样的）
• 状态压缩dp过程中用零一模拟Y or N的时候数1或零的个数

while (tem) {
 	tem &= (tem-1);
   	cnt++;
}

XOR

就是^运算
注意运算顺序

typedef long long ll;

cout<<1^2<<endl;   			//报错
cout<<(1^2)<<endl;			//输出3

int a = 1^2<5;
int b = (1^2)<5;
cout<<a<<"  "<<b<<endl;   	//输出0  1

int c = 1ll<<3;
cout<<c<<endl; 				//输出8  ll防止在往前移位的时候爆掉int

异或运算的性质

x ^ x = 0
任何数 ^ 0 = 任何数

线性基

线性基理解
理解：
首先构造线性基就是把原集合通过异或变成一个新的集合。
原因：
构造原因是可以将原来集合元素很多的集合变成一个集合元素少的集合，但是这两个集合异或后的集合是一样的。
异或运算xor ^ 在线性基的应用：
由于偶数个异或之后等于零，然后任何数与零异或后是任何数，所以可以将集合中的任意两个数相互替换，（例如x y，将x y的任意一个替换成x ^ y，此时这个集合还是等效的，因为原来的x y 异或出三个数 x y x ^ y ，现在的x x ^ y 异或出的还是那三个数 x x ^ y y）这就是通过异或运算性质来替换原来集合中的元素。
[注意上边说的替换后的集合和原来集合等效 是等效在他们都可以异或出相同的集合]

然后就是原集合s 和 s的所有元素异或出的后来的集合p 对p中的元素pi，每个元素都是s中的一个或多个元素异或而来的。

hdu3949模版题

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//  main.cpp
//  线性基板题
//
//  Created by 陈冉飞 on 2019/8/2.
//  Copyright © 2019 陈冉飞. All rights reserved.
//

#include 
//#include 
#include 
typedef long long ll;
#define cl(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;

ll a[10010],base[64];     //a shi是用来储存原本所有的数，   base 是储存基的数组
int Case = 1;

int main(int argc, const char * argv[]) {
    int T,total,qu_total;
    scanf("%d",&T);
    while (T--) {
        cl(a, 0);
        cl(base, 0);
        scanf("%d",&total);
        for (int i = 0; i < total; i++) {
            scanf("%I64d",&a[i]);
        }
        //插入元素
        for (int i = 0; i < total; i ++) {
            for (int j = 62; j >=0; j--) {
                if ((a[i]>>j)&1) {
                    //如果这个位置上的base还是空的
                    if (!base[j]) {
                        base[j] = a[i];
                        break;
                    }else{
                        a[i] ^= base[j];
                    }
                }
            }
        }
//        for (int i = 62; i >= 0; i--) {
//            cout<
//        }
        //对刚才插入之后的重新排列一遍
        for (int i = 62; i >= 0; i--) {
            if (base[i]) {
                for (int j = i-1; j >= 0; j--) {
                    if ((base[i]>>j)&1) {
                        base[i]^=base[j];
                    }
                }
            }
        }
//        cout<
//        for (int i = 62; i >= 0; i--) {
//            cout<
//        }
        int m = 0;
        for (int i = 0; i <= 62 ; i ++) {
            if (base[i]) {
                base[m++] = base[i];
            }
        }
        printf("Case #%d:\n",Case++);
        scanf("%d",&qu_total);
        ll num;
        while (qu_total--) {
            scanf("%I64d",&num);
            //有重叠的，并没有一一对应
            if (m != total) {
                num--;
            }
            if (num>=(1ll<<m)) {
                cout<<"-1"<<endl;
            }else{
                ll ans = 0;
                for (int i = 0; i < m; i++) {
                    if ((num>>i)&1) {
                        ans ^= base[i];
                    }
                }
                printf("%I64d\n",ans);
//                cout<
            }
        }
    }
    return 0;
}

异或性质的其他应用

这两个性质结合可以快速找到一个数组中重复次数为奇数或为偶数的一个(且唯一的一个)元素。

//
//  main.cpp
//  偶数次数的数
//
//  Created by 陈冉飞 on 2019/8/2.
//  Copyright © 2019 陈冉飞. All rights reserved.
//

#include 
#include 
#define maxn 10010
typedef long long ll;
using namespace std;
int a[maxn],b[maxn];

int main(int argc, const char * argv[]) {
//    //先写找出现奇数次数的数
//    int total,tem,std = 0;
//    scanf("%d",&total);
//    for (int i = 0; i 
//        scanf("%d",&tem);
//        std ^= tem;
//    }
//    cout<

//5 1 1 2 3 3 
//输出2

	//找出偶数次数的数
    int stdtotal,total;
    int stdval = 0,val = 0;
    scanf("%d",&stdtotal);
    //首先要记录下来所有有的数
    for (int i = 0; i < stdtotal; i++) {
        scanf("%d",&a[i]);
        stdval ^= a[i];
    }
    scanf("%d",&total);
    for (int i = 0; i < total; i++) {
        scanf("%d",&b[i]);
        val ^= b[i];
    }
//    cout<
    for (int i = 0; i < stdtotal; i++) {
        if ((a[i] ^ val) == stdval) {
            cout<<a[i]<<endl;
        }
    }
    return 0;
}

//5 1 2 3 4 5
//8 1 2 2 2 3 3 4 5
//输出3