数论笔记整理

整除

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定义

若 $ a = bk $ , 其中 $ a \in Z, b \in Z, k \in Z $, 则称 $ b $ 整除 $ a $ , 记做 $ b | a $.
也称 $ b $ 是 $ a $ 的约数(因数), $ a $ 是 $ b $ 的倍数

性质

\((1)\) $ 1 $ 整除任何数 $ ( 1 | k ) , k \in Z$ , $ 0 $ 被任何数整除 $ ( k | 0), k \in Z $
\((2)\) 若 $ a | b $ 且 $ a | c $, 则 $ a | (b + c), a | (b - c)$
\((3)\) 若 $ a | b $, 则对于任意整数 $ c $ , $ a | bc $
\((4)\) 传递性：若 $ a | b $ 且 $ b | c $ , 则 $ a | c $
\((5)\) 有待添加(其实是太多了,不想证)

例题

[CF 762A] k-th divisor

质数和合数

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定义

质数又称素数(下文中不区分质数和素数)
设 $ p \in Z_+ $
\((1)\) 当且仅当 $ p > 1 $ 且只能被 $ 1 $ 和 $ p $ 整除(即 $ p $ 仅有两个因子 $ 1 $ 和 $ p $ ), 则称 $ p $ 是一个质数;
\((2)\) 否则, 若 $ p > 1 $ , 则称 $ p $ 是一个合数;
\((3)\) 当 $ p = 1 $, $ p $ 既不是质数也不是合数.

性质

\((1)\) 质数有无穷多个.
\((2)\) 若 $ n $ 是一个合数, 则 $ n $ 至少有一个质因子.
\((3)\) 若 $ n $ 是一个合数, 其中最小的质因子一定不大于 $ \sqrt n $
\((4)\) 若 $ n $ 是一个合数, 不大于 $ n $ 的质数约有 $ \dfrac{n}{\ln n} $ 个.

唯一分解定理

把正整数 $ n $ 写成质数的乘积
$ n = p_1^{a_1}p_2^{a_2}p_3^{a_3}...p_k^{a_k} $, 其中 $ p_i $ 为质数, $ a_i $ 为正整数
这样的表示是唯一的.

试除法

最简单的判断一个数\(n\)是否为质数的方法
只需要从 $ 2 $ 除到 $ \sqrt n$ 即可, 如果中间有整数能整除 \(n\) 则 \(n\) 是合数, 反之 $ n $ 是质数

例题

[CF 776B] Sherlock and his girlfriend

同余

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定义

对于整数 \(a, b, b > 0\), 则存在唯一的整数 \(q, r\) 满足 \(a = bq + r\)
其中 $0 \leqslant r < b $。
其中称 \(q\) 为商, $ r $ 为余数。
余数用 $ a \bmod b $ 表示。
若两数 \(a, b\) 除以 \(c\) 的余数相等,则称\(a,b\) 模 $ c $ 同余，记做 \(a \equiv b \pmod{c}\)。

性质

\((1)\) $a \equiv b \pmod{c} \Leftrightarrow c | ( a − b ) $
推论：若 \(a \equiv b \pmod{c}, d|c\), 则 \(a \equiv b \pmod{d}\)
\((2)\) 有待添加(其实是太多了,不想证)

最大公约数

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定义

设 \(a, b\) 是不都为 \(0\) 的整数, \(c\) 为满足 \(c | a\) 且 \(c | b\) 的最大整数.
则称 \(c\) 是 \(a, b\)的最大公约数
记为 \(\gcd(m, n)\) 或 \((a, b)\)
若\((a, b) = 1\), 则称 \(a, b\) 互质(互素)

性质

\((1)\) \((a, a) = (0, a) = a\)
\((2)\) 若 \(a|b\) , 则\((a, b) = a\)
\((3)\) \((a, b) = (a, a + b) = (a, ka + b)\)
\((4)\) \((ka, kb) = k \times (a, b)\)
\((5)\) \((a, b, c) = ((a , b), c)\)

求gcd

求 \(GCD\) 的一般公式:质因数分解
$ a = p_1^{a_1}p_2^{a_2}p_3^{a_3}...p_k^{a_k} $
$ b = p_1^{b_1}p_2^{b_2}p_3^{b_3}...p_k^{b_k} $
$ (a, b) = p_1^{\min(a_1, b_1)}p_2^{\min(a_2, b_2)}p_3^{\min(a_3, b_3)}...p_k^{\min(a_k, b_k)} $

例题

[CF 664A] Complicated GCD
[CF 757B] Bash’s Big Day

欧几里得算法

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作用

又称辗转相除法, 迭代求两数 \(gcd\) 的做法

公式

\(gcd(a, b) = gcd(b, a \% b)\)

code

递归写法

int gcd(int a, int b) { return !b ? a : gcd(b, a % b);}

二进制优化

inline int gcd(int x, int y) {
	int i, j;
	if (x == 0) return y;
	if (y == 0) return x;
	for (i = 0;0 == (x&1); ++i) x >>= 1;
	for (j = 0;0 == (y&1); ++j) y >>= 1;
	if(j>= 1;
	}
}

裴蜀定理

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定义

设 \((a, b) = d\), 则对于任意整数 \(x, y\), 有 \(d | (ax + by)\) 成立;
特别地, 一定存在 \(x, y\) 满足 \(ax + by = d\).
等价的表述:不定方程 \(ax + by = c (a, b, c\) 为整数 \()\) 有解的充要条件为 \((a, b) | c\)

推论

\(a,b\) 互质等价于 \(ax + by = 1\) 有解

扩展欧几里得

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定义

就是如何求得 \(ax + by = d\) 的一个解, \(d = (a, b)\)

做法

考虑使用欧几里得算法的思想, 令 \(a = bq + r\), 其中 \(r = a \bmod b\)
递归求出 \(bx + ry = d\) 的一个解
设求出 \(bx + ry = d\) 的一个解为 \(x = x_0, y = y_0\)
将 \(a = bq + r\) 带入 \(ax + by = d\) 得
\(b(qx + y) + rx = d\)
令 \(qx+y = x_0, x = y_0\), 则上式成立
故 \(x = y_0, y = x_0 - qy_0\) 为 \(ax + by = d\) 的解
递归的边界: \(b = 0\) 时, 令 \(x = 1, y = 0\).

code

void exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
	if (b == 0) {
		x = 1;
		y = 0;
		return ;
	}
	int q = a / b, r = a % b;
	exgcd(b, r, y, x);
	y -= q * x;
}

求得所有解

先用 \(exgcd\) 求出任意一个解 \(x = x_0, y = y_0\)
再求出 \(ax + by = 0\) 的最小的解
\(x = d_x = \dfrac{b}{(a, b)}, y = d_y = -\dfrac{a}{(a, b)}\)
所有解就是 \(x = x_0 + kd_x, y = y_0 + kd_y, k \in Z\)

逆元

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定义

若 \(ax \equiv 1 \pmod b\) , 则称 \(x\) 是 \(a\) 关于模 \(b\) 的逆元.
常记做 \(a^{-1}\)
同时, 上式等价于 \(ax + by = 1\) (同余的性质)

条件

逆元不一定存在, 存在的充要条件是 \((a, b) = 1\)

推论

\(p\) 是质数, \(p\) 不整除 \(a\), 则 \(a\) 模 \(p\) 的逆元存在

结论

在 \([0, b)\) 的范围内, \(a\) 关于模 \(b\) 的逆元(若存在), 是唯一的.

方法

可以用 \(exgcd\) 求逆元

code

int inv(int a, int b) {
	int x, y;
	exgcd(a, b, x, y);
	return x;
}

线性求逆元

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方法一

递推
假设现在要求 \(i\) 的逆元
考虑带余除法, 设 \(p = iq + r\), 则有 \(iq + r \equiv 0 \pmod p\)
考虑到 \(p\) 是质数, 因此 \(r\) 不为 \(0\), \(r\) 的逆元存在
等式两边乘 \(i^{-1} + r^{-1} \equiv 0 \pmod p\)
因此 \(i^{-1} \equiv -qr^{-1} \equiv -\lfloor\dfrac{p}{i}\rfloor(p \bmod i)^{-1} \pmod p\)

code

inline int inv(int n) {
	inv[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= n; i++ ){
		inv[i] = (p - p / i)*inv[p % i] % p;
	}
}

方法二

倒推
先求 \(n!\) 的逆元(\(exgcd\) 或者之后会提到的快速幂)
然后利用 \(((k - 1)!)^{-1} \equiv k \times (k!) ^{-1} \pmod p\)
倒推求出 \(1!...n!\) 的逆元
再利用 \(k^{-1} \equiv (k - 1)! \times (k!)^{-1} \pmod p\)
就可以求出 \(1...n\) 的逆元了

code

不想写其实是我没用过,一直用的递推

费马小定理

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定义

\(a^{p - 1} \equiv 1 \pmod p\)
变式: $a^{p - 2} \equiv \dfrac{1}{a} \pmod p \Leftrightarrow a \times a^{p - 2} \equiv 1 \pmod p $

前提

\(p\) 是质数, 且 \(a\) 不是 \(p\)的质数

方法

直接快速幂取模就行

code

inline ll f_pow(ll x, ll y, int mod) {
	ll ans = 1;
	while (y) {
		if (y & 1) ans = (ans * x) % mod;
		x = (x * x) % mod;
		y >>= 1;
	}
	return ans;
}
inline int fermat(int a, int mod) {
	return f_pow(a, mod - 2);
}

线性同余方程

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定义

形如 \(ax \equiv c \pmod b\) 的方程称为线性同余方程
等价于 \(ax + by = c\) 因此有解条件为 \((a, b) \mid c\)

求解

任意的线性同余方程总可以判定为无解,或化为 \(x \equiv a \pmod m\) 的形式

线性同余方程组 && 中国剩余定理 && 欧拉定理

不想写了,之后再写,先挂一个大佬的链接吧
大佬