洛谷1439 模板 最长公共子序列

题目：最长公共子序列

思路：

这题用一般的DP来做，f( i , j )表示A的前i位和B的前j位的最长公共子序列的长度，时间复杂度为O(n^2)，在这题会TLE。

在这题中，需要用O(nlogn)的复杂度实现。

先设计一个数组b[]，b[i]代表B串中的数第i个数在A串中的位置。例如：

A串： 3 2 1 4 5

B串： 5 4 3 2 1

b[ ]： 5 4 1 2 3

这时，求AB两串的最长公共子序列也就是求b[]的最长上升子序列。因为一个序列x[]是AB的共共子序列，当且仅当x中的每一个数对应在AB两串的位置，都小于下一个数在AB两串中对应的位置。也就是说，x的每一个数在AB两串中对应的位置都是递增的。

b数组的设置就是相当于把A排了序，使A中的数递增，那么要是b中的数递增，就需要求b[]的上升子序列。

求最长上升子序列的朴素的DP做法的复杂度也是O(n^2)，但是可以用二分优化成O(nlogn)。

令f[x]表示b中最长上升子序列为x时序列的最后一个数的最小值。可以利用贪心的思想得到，每遍历到一个数b[i]时，f[x]=min(b[i],f[x])，其中x等于取一个最大的j使得f[j]的值小于b[i]的f[j]的值。由于f的值一定是有序的，所以求这个值就可以二分了。

注意这里的二分写的是STL库中的 lower_bound 函数。

代码：

#include
using namespace std;

#define maxn 100000

int n;
int a[maxn+5]={0},b[maxn+5]={0};
int f[maxn+5]={0};

int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		int x;
		scanf("%d",&x);
		a[x]=i;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		int x;
		scanf("%d",&x);
		b[i]=a[x];
	}
	for(int i=2;i<=n;i++) f[i]=(1<<30);
	f[1]=b[1],f[0]=0;
	int len=1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(b[i]>f[len]) {
			f[++len]=b[i]; 
			continue;
		}
		int x=lower_bound(f+1,f+len+1,b[i])-f;
		f[x]=min(b[i],f[x]);
	}
	printf("%d",len);
	return 0;
}