算法分析与设计——贪心算法
贪心算法：在求最优解问题的过程中，依据某种贪心标准，从问题的初始状态出发，直接去求每一步的最优解，通过若干次的贪心选择，最终得出整个问题的最优解。
从贪心算法的定义可以看出，贪心算法不是从整体上考虑问题，它所做出的选择只是在某种意义上的局部最优解，而由问题自身的特性决定了该题运用贪心算法可以得到最优解。
如果一个问题可以同时用几种方法解决，贪心算法应该是最好的选择之一。
5.1 活动安排问题
- 活动安排问题就是要在所给的活动集合中选出最大的相容活动子集合，是可以用贪心算法有效求解的很好例子。
- 该问题要求高效地安排一系列争用某一公共资源的活动。
- 贪心算法提供了一个简单、漂亮的方法使得尽可能多的活动能兼容地使用公共资源。
数据结构
struct action{
int s; //起始时间
int f; //结束时间
int index; //活动的编号
};活动的集合E记为数组：
action a[1000];按活动的结束时间升序排序
排序比较因子：
bool cmp(const action &a, const action &b)
{
if (a.f<=b.f) return true;
return false;
}使用标准模板库函数排序（下标0未用）：
sort(a, a+n+1, cmp);算法5.1 计算活动安排问题的贪心算法
//形参数组b用来记录被选中的活动
void GreedySelector(int n, action a[], bool b[])
{
b[1] = true; //第1个活动是必选的
//记录最近一次加入到集合b中的活动
int preEnd = 1;
for(int i=2; i<=n; i++)
if (a[i].s>=a[preEnd].f)
{
b[i] = true;
preEnd = i;
}
}
贪心算法的理论基础
- 贪心算法是一种在每一步选择中都采取在当前状态下最好或最优的选择，希望得到结果是最好或最优的算法。
- 贪心算法是一种能够得到某种度量意义下的最优解的分级处理方法，通过一系列的选择得到一个问题的解，而它所做的每一次选择都是当前状态下某种意义的最好选择。即希望通过问题的局部最优解求出整个问题的最优解。
- 这种策略是一种很简洁的方法，对许多问题它能产生整体最优解，但不能保证总是有效，因为它不是对所有问题都能得到整体最优解。
- 利用贪心策略解题，需要解决两个问题：
（1）该题是否适合于用贪心策略求解；
（2）如何选择贪心标准，以得到问题的最优/较优解。
贪心选择性质
贪心选择性质是指所求问题的整体最优解可以通过一系列局部最优的选择，即贪心选择来达到。
这是贪心算法可行的第一个基本要素，也是贪心算法与动态规划算法的主要区别。
（1）在动态规划算法中，每步所做的选择往往依赖于相关子问题的解，因而只有在解出相关子问题后，才能做出选择。
（2）在贪心算法中，仅在当前状态下做出最好选择，即局部最优选择，然后再去解出这个选择后产生的相应的子问题。
最优子结构性质
- 当一个问题的最优解包含其子问题的最优解时，称此问题具有最优子结构性质。
运用贪心策略在每一次转化时都取得了最优解。问题的最优子结构性质是该问题可用贪心算法或动态规划算法求解的关键特征 - 贪心算法的每一次操作都对结果产生直接影响，而动态规划则不是。
贪心算法对每个子问题的解决方案都做出选择，不能回退；动态规划则会根据以前的选择结果对当前进行选择，有回退功能。
动态规划主要运用于二维或三维问题，而贪心一般是一维问题。
贪心算法的求解过程
使用贪心算法求解问题应该考虑如下几个方面：
（1）候选集合A：为了构造问题的解决方案，有一个候选集合A作为问题的可能解，即问题的最终解均取自于候选集合A。
（2）解集合S：随着贪心选择的进行，解集合S不断扩展，直到构成满足问题的完整解。
（3）解决函数solution：检查解集合S是否构成问题的完整解。
（4）选择函数select：即贪心策略，这是贪心法的关键，它指出哪个候选对象最有希望构成问题的解，选择函数通常和目标函数有关。
（5）可行函数feasible：检查解集合中加入一个候选对象是否可行，即解集合扩展后是否满足约束条件。
贪心算法的一般流程
//A是问题的输入集合即候选集合
Greedy(A)
{
S={ }; //初始解集合为空集
while (not solution(S)) //集合S没有构成问题的一个解
{
x = select(A); //在候选集合A中做贪心选择
if feasible(S, x) //判断集合S中加入x后的解是否可行
S = S+{x};
A = A-{x};
}
return S;
｝
背包问题
- 给定一个载重量为M的背包，考虑n个物品，其中第i个物品的重量 ，价值wi （1≤i≤n），要求把物品装满背包，且使背包内的物品价值最大。
- 有两类背包问题（根据物品是否可以分割），如果物品不可以分割，称为0—1背包问题（动态规划）；如果物品可以分割，则称为背包问题（贪心算法）。
数据结构
struct bag{
int w; //物品的重量
int v; //物品的价值
double c; //性价比
}a[1001]; //存放物品的数组
排序因子（按性价比降序）：
bool cmp(bag a, bag b){
return a.c >= b.c;
}使用标准模板库函数排序（最好使用stable_sort()函数，在性价比相同时保持输入的顺序）：
sort(a, a+n, cmp);算法5.3 计算背包问题的贪心算法
//形参n是物品的数量，c是背包的容量M，数组a是按物品的性价比降序排序
double knapsack(int n, bag a[], double c)
{
double cleft = c; //背包的剩余容量
int i = 0;
double b = 0; //获得的价值
//当背包还能完全装入物品i
while(i<n && a[i].w<cleft)
{
cleft -= a[i].w;
b += a[i].v;
i++;
}
//装满背包的剩余空间
if (i<n) b += 1.0*a[i].v*cleft/a[i].w;
return b;
}如果要获得解向量X={x1,x2,x3,...,xn}，则需要在数据结构中加入物品编号：
struct bag{
int w;
int v;
double x; //装入背包的量，0≤x≤1
int index; //物品编号
double c;
}a[1001];算法5.4 计算背包问题的贪心算法，同时得到解向量
double knapsack(int n, bag a[], double c)
{
double cleft = c;
int i = 0;
double b = 0;
while(i<n && a[i].w<=cleft)
{
cleft -= a[i].w;
b += a[i].v;
//物品原先的序号是a[i].index，全部装入背包
a[a[i].index].x = 1.0;
i++;
}
if (i<n) {
a[a[i].index].x = 1.0*cleft/a[i].w;
b += a[a[i].index].x*a[i].v;
}
return b;
}5.4 最优装载问题
- 有一批集装箱要装上一艘载重量为c的轮船，其中集装箱i的重量为wi。最优装载问题要求确定在装载体积不受限制的情况下，将尽可能多的集装箱装上轮船。
- 该问题的形式化描述为：
- 其中xi∈{0，1}，1≤i≤n。
最优装载问题可用贪心算法求解。采用重量最轻者先装的贪心选择策略，可得到装载问题的最优解。表示集装箱的数据结构如下：
struct load {
int index; //集装箱编号
int w; //集装箱重量
}box[1001]；排序因子（按集装箱的重量升序）：
bool cmp (load a, load b) {
if (a.w<b.w) return true;
else return false;
}使用标准模板库函数排序（box[0]未使用）：
stable_sort(box, box+n+1, cmp);- 这是稳定排序函数，当重量相同时，保持输入数据原来的顺序。
算法5.4 最优装载问题的贪心算法
while (scanf("%d%d", &c, &n)!=EOF)
{
memset(box, 0, sizeof(box));
memset(x, 0, sizeof(x));
for (int i=1; i<=n; i++)
{
scanf("%d", &box[i].w);
box[i].index = i;
}
//按集装箱的重量升序排序
stable_sort(box, box+n+1, cmp);
if (box[1].w>c) {
printf("No answer!\n");
continue;
}
//贪心算法的实现，重量最轻者先装载
int i;
for (i=1; i<=n && box[i].w<=c; i++)
{
x[box[i].index] = 1;
c -= box[i].w;
}
//输出装载的集装箱数量
printf("%d\n", i-1);
//输出装载的集装箱编号
for (i=1; i<=n; i++)
if (x[i]) printf("%d ", i);
printf("\n");
｝5.10 ZOJ1025-Wooden Sticks
- 现有n根木棒，已知它们的长度和重量。要用一部木工机一根一根地加工这些木棒。该机器在加工过程中需要一定的准备时间，是用于清洗机器，调整工具和模版的。
- 木工机需要的准备时间如下：
（1）第一根木棒需要1min的准备时间；
（2）在加工了一根长为l ，重为w的木棒之后，接着加工一根长为l ’ (l ≤ l’ )，重为 w’ ( w≤w’)的木棒是不需要任何准备时间的，否则需要一分钟的准备时间。 - 给定n根木棒，找到最少的准备时间。
例如现在有长和重分别为（4，9),（5，2),（2，1),（3，5）和（1,4）的五根木棒，那么所需准备时间最少为2min，顺序为（1，4),（3，5),（4，9),（2，1),（5，2）。
- 本题仅仅使用贪心算法是不够的，排序之后还要使用动态规划的算法。
（1）数据结构 - 采用结构体表示木棒的信息：
#define maxN 5001
struct stick
{
int l; //木棒的长度
int w; //木棒的重量
};
stick data[maxN]; //存放所有木棒
（2）按木棒的长度使用贪心算法
- 利用C++的标准模板库函数sort()实现排序：
sort(data, data+n, cmp);- 排序函数cmp()的实现：
int cmp(stick a, stick b)
{
//长度相等时，按重量排序
if (a.l == b.l) return a.w < b.w;
//优先按长度排序
else if (a.l < b.l) return true;
return false;
}（3）使用动态规划的方法，计算重量w的最长单调递增子序列的个数
- 用数组b记录重量w的分组序号。
在表中，4，5和9的组序号是1，1和2的组序号是2。 - 则a[i].w（0≤i＜n）最长递增子序列的分组个数为：max {b[i]}。
- b[i]满足最优子结构性质，可以递归地定义为：
b[0]＝1；
b[i]＝max{b[j]}＋1, 0≤j＜i
算法5.16 计算重量w的最长单调递增子序列个数的动态规划实现
//形参n是木棒的数量，stick是木棒参数的数组
int LIS(int n, stick a[])
{
//数组b表示木棒分组的序号
int b[maxN];
memset(b, 0, sizeof(b));
int i, j, k;
b[0]=1;
for (i=1; i<n; i++)
{
//计算第i个木棒的的分组序号
k=0;
for (j=0; j<i; j++)
if (a[i].w<a[j].w && k<b[j]) k=b[j];
b[i]=k+1;
}
//查找最大的分组序号（数组b中的最大值）
int max=0;
for (i=0; i<n; i++)
if (b[i]>max) max=b[i];
return max;
}5.13 ZOJ1161-Gone Fishing
算法5.19选择鱼最多的湖钓鱼的贪心算法实现
//从湖1起到湖pos止，花费时间time（不含路程）的钓鱼计划
void greedy(int pos, int time)
{
if (time <= 0) return; //时间已经用完
int i, j;
int fish[MAXN];
int p[MAXN];
int t = 0;
for (i = 0; i < pos; ++i)
fish[i] = f[i];
memset(p, 0, sizeof(p));
……
}
//在时间time内，选择鱼最多的湖钓鱼；如果鱼都没有了，就把时间放在湖1上
for (i = 0; i < time; ++i)
{
int max = 0; //鱼最多的湖中，鱼的数量
int id = -1; //鱼最多的湖的编号
//查找鱼最多的湖中，鱼的数量和湖的编号
for (j = 0; j < pos; ++j)
if (fish[j] > max){
max = fish[j];
id = j;
}
if (id != -1) //找到了，进行钓鱼处理
{
++p[id];
fish[id] -= d[id];
t += max;
}
//没有找到（从湖1起到湖pos全部钓完了），就把时间放在湖1上
else ++p[0];
}
//处理最优方案
if (t > best)
{
best = t; //最优值
memset(plan, 0, sizeof(plan));
for (i = 0; i < pos; ++i) //最优解
plan[i] = p[i];
}输出钓鱼计划时，再把5乘回去，就变成实际的钓鱼时间（分钟）：
for (i=0; i<n-1; ++i)
printf("%d, ", plan[i] * 5);
printf("%d\n", plan[n-1] * 5);
printf("Number of fish expected: %d\n", best);