卡特兰数 相关问题 hdu 5184 Brackets

题解：

当n为奇数的时候答案是0。
先判断字符串的前面是否符合括号匹配，即对于任何前缀左括号个数>=右括号个数。
设左括号个数为a右括号个数为b, m=n/2，问题可以转化为在平面中从座标(a,b)沿网格走到(m,m) 且不跨过x=y这一条直线的方法数。数据太大，普通DP和搜索都不行的。
问题可以进一步转化为从(a-n,b-n)到(0,0)且不跨过x=y的方法数。再对称一下，转化到(0,0)到(n-b,n-a)不跨过x=y的方法数。

对于从(0,0)点走到(p,q)点不跨过x=y的方法数是

p−q+1p+1Cqp+q

证明如下： 我们可以通过总的数目来减掉非法的数目即可。 把(0,0)和(p,q)都往下移一格，非法数目即为(0,-1)到(p,q-1)且路径中至少有一点和x=y相交的方法数。记(d,d)为从(0,-1)到(p,q-1)路径中最先和x=y相交的点。则由于对称性(-1,0)到(d,d)的方法数和(0,-1)到(d,d)的方法数是相同的。所以(0,-1)到(p,q-1)且与x=y相交的方法数和(-1,0)到(p,q-1)的方法数是相同的。 所以答案是

Cqp+q−Cq−1p+q=p−q+1p+1Cqp+q

然后对100W以内的数字进行一个阶乘处理，就可以O(1)得出答案了。

相关问题：

经典的买票问题，：本次足球比赛的门票为50元，而站排买票的球迷有m个人手里拿着一张面值50元的钞票，有n个人手里拿着一张面值100元的钞票。工作人员事先忘了为售票处准备任何零钱，请问您是否能算出这(m+n)个人共有多少种排队方式买票，使售票处不至于出现找不开钱的尴尬局面？

问题即p个‘（’，q个‘）’，p>=q，满足条件的排列数，答案即为Cqp+q−Cq−1p+q=p−q+1p+1Cqp+q

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