FOC中的Clarke变换和Park变换详解（动图+推导+仿真+附件代码）

1 前言

永磁同步电机是复杂的非线性系统，为了简化其数学模型，实现控制上的解耦，需要建立相应的坐标系变换，即Clark变换和Park变换。

2 自然坐标系ABC

三相永磁同步电机的驱动电路如下图所示；

根据图示电路可以发现在三相永磁同步电机的驱动电路中，三相逆变输出的三相电压为$U_A$，$U_B$，$U_C$将作用于电机，那么在三相平面静止坐标系ABC中，电压方程满足以下公式：

$$\{\begin{array}{l}{U}_A=U_{m}cos{\theta }_e\\ U_B=U_{m}cos({\theta }_e+\frac{2\pi }{3})\\ U_C=U_{m}cos({\theta }_e-\frac{2\pi }{3})\end{array}$$

${\theta }_e$为电角度
$U_m$为相电压基波峰值

所以根据上述公式可以发现，三相电压的大小是随时间变化的正弦波形，相位依次相差120°，具体如下图所示；

3 $\alpha \beta$ 坐标系

由静止三相坐标系$ABC$变换到静止坐标系$\alpha \beta$的过程称之为Clarke变换；在$\alpha \beta$静止坐标系中，$\alpha$轴和$\beta$轴的相位差为90°，且$\alpha \beta$的大小是随时间变化的正弦波形，具体如下图所示；

从自然坐标系$ABC$ 变换到静止坐标系 $\alpha \beta$，满足以下条件：
$$\left[\begin{array}{c}{f}_{\alpha }\\ f_{\beta }\\ f_0\end{array}\right]=T_{3s/2s}\ast \left[\begin{array}{c}{f}_A\\ f_B\\ f_C\end{array}\right]$$
其中$T_{3S/2S}$为变换矩阵：
$$T_{3S/2S}=N\ast \left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ & & \\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ & & \\ \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]$$

注意：$N$为系数，做等幅值变换和等功率变换$N$系数不同；
等幅值变换 $N=\frac{2}{3}$
等功率变换 $N=\sqrt{\frac{2}{3}}$
下面均为等幅值变换

3.1 Clarke变换

三相电流$ABC$分别为$i_A$，$i_B$，$i_C$，根据基尔霍夫电流定律满足以下公式：
$$i_A+i_B+i_C=0$$
静止坐标系$\alpha \beta$，$\alpha$轴的电流分量为$i_{\alpha }$，$i_{\beta }$，则Clark变换满足以下公式：

$$\begin{gathered} i_{\alpha }=i_A \\ {i}_{\beta }=\frac{1}{\sqrt{3}}\ast i_A+\frac{2}{\sqrt{3}}\ast i_B \end{gathered}$$

在matlab的simulink仿真如下图所示；

最终得到三相电流$i_A$，$i_B$，$i_C$的仿真结果如下；

得到 $\alpha \beta$ 坐标的 $i_{\alpha }$ 和 $i_{\beta }$ 的仿真结果如下图所示；

由上述两张图分析可以得到，等幅值Clark变换前后峰值不变，$\alpha \beta$坐标系中$i_{\alpha }$和$i_{\beta }$相位相差90°。

3.2 Clarke反变换

暂略

Clarke反变换的simulink仿真如下图所示；

4 $dq$ 坐标系

$dq$ 坐标系相对与定子来说是旋转的坐标系，转速的角速度和转子旋转的角速度相同，所以，相当于转子来说，$dq$ 坐标系就是静止的坐标系；而$i_d$和$i_q$则是恒定不变的两个值，具体如下图所示；

根据物理结构，我们发现；
$d$ 轴方向与转子磁链方向重合，又叫直轴；
$q$ 轴方向与转子磁链方向垂直，又叫交轴；
$d$轴和$q轴$如下图所示；

4.1 Park变换

Park变换的本质是静止坐标系$\alpha \beta$乘以一个旋转矩阵，从而得到$dq$坐标系，其中满足以下条件：
$$\left[\begin{array}{c}{f}_d\\ f_q\end{array}\right]=T_{2s/2r}\ast \left[\begin{array}{c}{f}_{\alpha }\\ f_{\beta }\end{array}\right]$$
其中$T_{2s/2r}$为旋转矩阵，所以，park变换和park反变换其根本就是旋转矩阵不同，$T_{2s/2r}$可以表示为：
$$T_{2s/2r}=\left[\begin{array}{cc}cos{\theta }_e& sin{\theta }_e\\ -sin{\theta }_e& cos{\theta }_e\end{array}\right]$$

$T_{2s/2r}$ 含义为 $2\ast stator$ ==> $2\ast rotor$
2轴定子坐标系转换到2轴转子坐标系

由上式可以得到：
$$\{\begin{array}{l}{i}_d=i_{\alpha }\ast cos\theta +i_{\beta }\ast sin\theta \\ i_q=-i_{\alpha }\ast sin\theta +i_{\beta }\ast cos\theta \end{array}$$
其中simulink仿真如下图所示；

作为输入的 $i_{\alpha }$ 和 $i_{\beta }$，仿真波形如下图所示；

最终经过Park变换得到$i_d$和$i_q$如下图所示；

可以看到，$i_d$和$i_q$是恒定值，所以Park变换也叫做交直变换，由输入的交流量，最终变换到相对与转子坐标的直流量。

在实际写FOC的过程中对于这块变换产生了一个疑问；这里再区分一下正转和反转的情况，以此来说明一下Id和Iq的实际中的作用；
下面先规定一个方向为反转；

正转

通常，大部分书籍以及论文中的正转输入的三相波形如下：
$$\{\begin{array}{l}{U}_A=U_{m}cos{\theta }_e\\ U_B=U_{m}cos({\theta }_e-\frac{2\pi }{3})\\ U_C=U_{m}cos({\theta }_e+\frac{2\pi }{3})\end{array}$$

反转

$$\{\begin{array}{l}{U}_A=U_{m}cos{\theta }_e\\ U_B=U_{m}cos({\theta }_e+\frac{2\pi }{3})\\ U_C=U_{m}cos({\theta }_e-\frac{2\pi }{3})\end{array}$$

4.2 Park反变换

Park反变换又叫直交变换，由$dq$轴的直流量，最终变换到$\alpha \beta$的交流量，其中满足变换条件如下：
$$\left[\begin{array}{c}{f}_d\\ f_q\end{array}\right]=T_{2r/2s}\ast \left[\begin{array}{c}{f}_{\alpha }\\ f_{\beta }\end{array}\right]$$

其中$T_{2s/2r}$为Park变换的逆矩阵，所以，存在条件：
$$T_{2r/2s}=T_{2r/2s}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}cos{\theta }_e& -sin{\theta }_e\\ sin{\theta }_e& cos{\theta }_e\end{array}\right]$$

最终由上式可以得到：
$$\{\begin{array}{l}{i}_{\alpha }=i_d\ast cos\theta -i_q\ast sin\theta \\ i_{\beta }=i_d\ast sin\theta +i_q\ast cos\theta \end{array}$$

仿真暂略。

5 程序实现

坐标变换的C程序主要基于TI的IQMATH库进行实现，详情已经提交到附件。
如何使用这个库可以参考《STM32 使用IQmath实现SVPWM》

附件

链接：https://pan.baidu.com/s/1s2qU5wA2LMSmed51q-Jayw
提取码：irm2