Tower of Hanoi 汉诺塔以及汉诺塔限制版和谢尔宾斯基三角形的关系

原版汉诺塔问题

二进制表示当前情况：000

游戏玩法：

将A柱子上的圆盘全部移动至B或C，一次移动一个圆盘，且大盘必须位于小盘之下（这里对游戏玩法不做过多描述）。

过程

定义函数

//A移动至C通过B，这里的通过意思是后面需要通过与B交换，即借助的意思
//n=1时，这不需要借助B，直接A移动至C
honoi(int n, char A, char B, char C);

3个圆盘(大中小3盘)为例,设想一下，从最后的情况考虑，即A大盘移动至C

二进制表示当前情况：011

可以看到，要使A大盘移动至C，需要将A上中盘和小盘移动至B，即A柱（n-1）先移动至B
怎么实现，我们把B柱看成C柱，问题被分解成2阶汉诺塔问题:

二进制表示当前情况：00

所以在代码中需要体现B柱与C柱交换

//可以理解为A上n-1个盘移动至B，通过C(函数定义)
//想象一下当n-1为1时，A上1个盘可直接移至B
//当n-1>1时，A上n-1个盘移至B，不可直接移动，需要借助C
honoi(n - 1, A, C, B);

然后A大盘移动至C

二进制表示当前情况：100

移动后现在要做的就是B上中盘和小盘要移动至C
那要怎么移动呢？因为C盘上的大盘是最大的盘，所有盘都可以放在它上面，我们就当它不存在。
现在的问题就被分解成2阶汉诺塔问题，我们可以这样理解，把B看做A，A看做B，如下图

二进制表示当前情况：00

所以在代码中需要体现A柱与B柱交换

//可以理解为B上n-1个盘移动至C，通过A(函数定义)
honoi(n - 1, B, A, C);

B上中盘和小盘要移动至C后

二进制表示当前情况：111

问题分解到二阶；再分解至一阶，到达递归出口，程序结束。

Code(c++)

#include
using namespace std;
int honoi(int n, char A, char B, char C) {
	if (n == 1) {
		cout << A << " -> " << C << endl;
		return 1;
	} else {
		int ab = honoi(n - 1, A, C, B);
		cout << A << " -> " << C << endl;
		int bc = honoi(n - 1, B, A, C);
		return ab + bc+1;
	}
}
int main() {
	int n;
	cin >> n;
	int c = honoi(n, 'A', 'B', 'C');
	cout << c << endl;
}

观察二进制表示的情况，可以发现有趣的想象，二进制的进位状态与汉诺塔圆盘移动情况符合，且从低位到高位表示从小到大盘移动情况

初始：000
A -> C：001
A -> B：010
C -> B：011
A -> C：100
B -> A：101
B -> C：110
A -> C：111
移动7次

为什么会这样？道理都懂，就是解释不了-_-
因此求移动次数，就等于 2^n - 1，且是最优解

限制版汉诺塔问题

游戏玩法：

将A柱子上的圆盘全部移动至B或C，一次移动一个圆盘（只能移动到隔壁的柱子，如A->B符合要求 A->C不符合），且大盘必须位于小盘之下（这里对游戏玩法不做过多描述）。

基本思路与原版汉诺塔一样，只是移动时会多增加一步，限制条件导致（列如：A到C必须经过B）
具体描述以后有时间填，以下是代码：

Code(c++)

#include
using namespace std;
long long hanoi(int n,char A,char B,char C) {
	if (n == 1) {
		cout << A << "->" << B << endl;
		cout << B << "->" << C << endl;
		return 2;
	} else {
		long long atoc = hanoi(n - 1, A, B, C);//A(n-1) -> C by B
		cout << A << "->" << B << endl;//An -> B
		long long ctoa = hanoi(n - 1, C, B, A);//C(n-1) -> A by B
		cout << B << "->" << C << endl;//Bn -> C
		long long atoc2 = hanoi(n - 1, A, B, C);//A(n-1) -> Cn by B
		return atoc + ctoa + atoc2 + 2;
	}
}
int main() {
	int n;
	cin >> n;
	long long ans = hanoi(n, 'A', 'B', 'C');
	printf("%lld\n", ans);
	return 0;
}

限制版可以发现有趣的想象，三进制的进位状态也与汉诺塔圆盘移动情况符合

初始：000
A->B：001
B->C：002
A->B：010
C->B：011
B->A：012
B->C：020
A->B：021
B->C：022
A->B：100
C->B：101
B->A：102
C->B：110
A->B：111
B->C：112
B->A：120
C->B：121
B->A：122
B->C：200
A->B：201
B->C：202
A->B：210
C->B：211
B->A：212
B->C：220
A->B：221
B->C：222
移动26次数

因此求移动次数，就等于 3^n - 1，且是最优解

限制版汉诺塔的高级玩法 谢尔宾斯基三角形

3阶汉诺塔限制版所有情况构成谢尔宾斯基三角形

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按照解汉诺塔的顺序，可以遍历谢尔宾斯基三角形，非常有趣，数学之美 m_m

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更高阶的谢尔宾斯基三角形（分形）

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以上三张截图来自视频[Binary, Hanoi, and Sierpinski, part 2]
有兴趣可查看youtube原视频 or bilibili 中文字幕视频