[BZOJ1045] [HAOI2008] 糖果传递 [结论]

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如果不是圈，可以从$1\sim \mathfrak{n}$递推
规定一个标准传递方向，可以把顺方向的传递记作正权，反方向记作负权。
每一步把$\mathfrak{t}\mathfrak{e}\mathfrak{m}\mathfrak{p}$（初始化为$0$）累加上${\mathfrak{a}}_{\mathfrak{i}}-\overline{\mathfrak{a}}$，$\mathfrak{a}\mathfrak{n}\mathfrak{s}$（初始化为$0$）累加上$\mathfrak{t}\mathfrak{e}\mathfrak{m}\mathfrak{p}$。
（以上均为口胡，没有找到题目，不保证正确性）

现在问题到了环上就不好这么想了。

假设第$\mathfrak{i}$个人给第$\mathfrak{j}$个人传递了${\mathfrak{x}}_{\mathfrak{i},\mathfrak{j}}$？
实际上没有必要，因为一个人直接地只会传给一个人
设第$\mathfrak{i}$个人给第$(\mathfrak{i}\mathfrak{m}\mathfrak{o}\mathfrak{d}\mathfrak{n})+1$个人传递了${\mathfrak{x}}_{\mathfrak{i}}$（反过来也行）
有：$\mathfrak{a}\mathfrak{n}\mathfrak{s}=\sum _{\mathfrak{i}=1}^{\mathfrak{n}}|{\mathfrak{x}}_{\mathfrak{i}}|$
这还不够。如果规定了这样的方向，那么有：第$\mathfrak{i}$个人最后的值为${\mathfrak{a}}_{\mathfrak{i}}-{\mathfrak{x}}_{\mathfrak{i}}+{\mathfrak{x}}_{\mathfrak{i}-1}=\overline{\mathfrak{a}}$
（不单独给$\mathfrak{n}\to 1$分类了，知道就好）

然后这个可以列$\mathfrak{n}-1$个式子消掉$\mathfrak{n}-1$个$\mathfrak{x}$
它们都可以表示为形如：$x_j={\mathfrak{x}}_{\forall \mathfrak{i}}+{\xi }_{\mathfrak{j}}$

${\mathfrak{a}}_1-{\mathfrak{x}}_1+{\mathfrak{x}}_{\mathfrak{n}}=\overline{\mathfrak{a}}\cdots {\mathfrak{x}}_1={\mathfrak{a}}_1+{\mathfrak{x}}_{\mathfrak{n}}-\overline{\mathfrak{a}}={\mathfrak{a}}_1+{\mathfrak{x}}_{\mathfrak{n}}-\overline{\mathfrak{a}}$
${\mathfrak{a}}_2-{\mathfrak{x}}_2+{\mathfrak{x}}_1=\overline{\mathfrak{a}}\cdots {\mathfrak{x}}_2={\mathfrak{a}}_2+{\mathfrak{x}}_1-\overline{\mathfrak{a}}={\mathfrak{a}}_1+{\mathfrak{a}}_2+{\mathfrak{x}}_{\mathfrak{n}}-2\overline{\mathfrak{a}}$
${\mathfrak{a}}_3-{\mathfrak{x}}_3+{\mathfrak{x}}_2=\overline{\mathfrak{a}}\cdots {\mathfrak{x}}_3={\mathfrak{a}}_3+{\mathfrak{x}}_2-\overline{\mathfrak{a}}={\mathfrak{a}}_1+{\mathfrak{a}}_2+{\mathfrak{a}}_3+{\mathfrak{x}}_{\mathfrak{n}}-3\overline{\mathfrak{a}}$
$⋮$
$\cdots \cdots {\mathfrak{x}}_{\mathfrak{n}-1}={\mathfrak{x}}_{\mathfrak{n}}-(\mathfrak{n}-1)\overline{\mathfrak{a}}+\sum _{\mathfrak{i}=1}^{\mathfrak{n}-1}{\mathfrak{a}}_{\mathfrak{i}}$

$\mathfrak{a}\mathfrak{n}\mathfrak{s}=|{\mathfrak{x}}_{\mathfrak{n}}|+\sum _{\mathfrak{i}=1}^{\mathfrak{n}-1}|{\mathfrak{x}}_{\mathfrak{n}}-\mathfrak{i}\overline{\mathfrak{a}}+\sum _{\mathfrak{j}=1}^{\mathfrak{i}}{a}_j|$
由此可得要使$\mathfrak{a}\mathfrak{n}\mathfrak{s}$最小就得让${\mathfrak{x}}_{\mathfrak{n}}$满足某种条件

注意到$\mathfrak{a}\mathfrak{n}\mathfrak{s}=\sum _{\mathfrak{i}=1}^{\mathfrak{n}}|{\mathfrak{x}}_{\mathfrak{n}}-{\mathfrak{F}}_{\mathfrak{i}}|$要使$\mathfrak{a}\mathfrak{n}\mathfrak{s}$最小
所以取中位数。

#include
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#include
#include
#include
using namespace std;
int n;
long long x,pre=0,a[1000005]={},aver=0;
long long delta[1000005]={},midpos,deltamid,ans=0;
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%lld",&a[i]),aver+=a[i];
	aver/=n;
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		pre+=a[i];
		if(i<n)delta[i]=i*aver-pre;
	}
	sort(delta+1,delta+n);
	deltamid=delta[1]+delta[n]>>1;
	midpos=(n&1)?delta[n+2>>1]:((abs(deltamid-delta[n>>1])<abs(deltamid-delta[n+2>>1]))?(n>>1):(n+2>>1));
	for(int i=1;i<n;++i)ans+=abs(delta[i]-delta[midpos]);
	printf("%lld",abs(delta[midpos])+ans);
	return 0;
}