【力扣日记】096 不同的二叉搜索树 | 动态规划

题目描述

给定一个整数 n，求以 1 … n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？

示例:

输入: 3
输出: 5
解释:
给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树:

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

算法

方法一：动态规划

直觉本问题可以用动态规划求解。

给定一个有序序列 1 … n，为了根据序列构建一棵二叉搜索树。我们可以遍历每个数字 i，将该数字作为树根，1 … (i-1) 序列将成为左子树，(i+1) … n 序列将成为右子树。于是，我们可以递归地从子序列构建子树。
在上述方法中，由于根各自不同，每棵二叉树都保证是独特的。

可见，问题可以分解成规模较小的子问题。因此，我们可以存储并复用子问题的解，而不是递归的（也重复的）解决这些子问题，这就是动态规划法。

算法

问题是计算不同二叉搜索树的个数。为此，我们可以定义两个函数：

1. G(n): 长度为n的序列的不同二叉搜索树个数。

2. F(i,n): 以i为根的不同二叉搜索树个数(1 $\le$ i $\le$ n)。

所以：$$G(n)=\underset{x\to \infty }{\lim }F(i,n)$$
特别的，对于边界情况，当序列长度为 1 （只有根）或为 0 （空树）时，只有一种情况。亦即：

G(0)=1,G(1)=1

概括来说：$F(i,n)=G(i-1)\cdot G(n-i)$
所以最终得到如下公式：$$G(n)=\underset{x\to \infty }{\lim }G(i-1)\ast G(n-i)$$

class Solution:
    def numTrees(self, n):
        """
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        G = [0]*(n+1)
        G[0], G[1] = 1, 1

        for i in range(2, n+1):
            for j in range(1, i+1):
                G[i] += G[j-1] * G[i-j]

        return G[n]

public class Solution {
  public int numTrees(int n) {
    int[] G = new int[n + 1];
    G[0] = 1;
    G[1] = 1;

    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
      for (int j = 1; j <= i; ++j) {
        G[i] += G[j - 1] * G[i - j];
      }
    }
    return G[n];
  }
}

方法二：数学演绎法

略。见源解析。

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源解析