计算机中的浮点数

计算机中的浮点数表示

计算机中的float类型，有一篇文章写的很好，这里把它的一部分放过来：https://www.duote.com/tech/cyuyan/14691.html

根据国际标准IEEE 754，任意一个二进制浮点数V可以表示成下面的形式：
　　V = (-1)^s×M×2E
　　（1）(-1)^s表示符号位，当s=0，V为正数；当s=1，V为负数。
　　（2）M表示有效数字，大于等于1，小于2。
　　（3）2^E表示指数位。

这里的s来自单词sign，是正负符号的意思，m来自于单词mantissa，意思是尾数，E来自于单词Exponent，意思是指数。由于任何数都可以写成以下形式，所以任何数都可以表示为：

IEEE 754规定，对于32位的浮点数，最高的1位是符号位s，接着的8位是指数E，剩下的23位为有效数字M。如下图所示

对于64位的浮点数，最高的1位是符号位S，接着的11位是指数E，剩下的52位为有效数字M。如下图所示

多的东西就不说了，这里具体举一个例子，手动实现以下转换：

将3.14159转换为32位浮点数
3.14159分为小数部分和整数部分，整数部分是11，为了小数部分就是硬算了，可以通过计算器得到，如下图所示：

11.0010 0100 0011 1111 0011 1110....换算成科学记数法，小数点往前挪一位，所以是1.1001 0010 0001 1111 1001 111 * 2 ^1，这样就是小数点后面23位数，前面一位数，由于前面提到所有的数都可以写成(1 + M)* 2 ^E的方式，为了省一位的空间，这里整数部分的1我们可以不计，只选尾数部分（这就是mantissa叫做尾数的原因）

所以，符号位是0，尾数位是 1001 0010 0001 1111 1001 111，接下来差的就是指数位，这里的指数位很明显是1，因为我们刚刚只往前移了一位，所以值应该就是 1，再加上127的偏移量，得到的是1 + 127 = 1000 0000 = 128

到这里就完成了，换算后的计算机表示结果为：
0 1000 0000 1001 0010 0001 1111 1001 111

我们可以在计算机里验证一下：01000000010010010000111111001111 转换成16进制是 0xcf 0f 49 40 ，然后我们创建一个包含四个字节的byte数组，然后把里面的数字拷进一个float变量里，代码如下所示：

int main()
{
	float f;
	// 由于堆栈的原因，这里要倒着写
	unsigned char b[4] = { 0xcf, 0x0f, 0x49, 0x40 };
	memcpy(&f, &b, sizeof(f));
	cout << f <

就可以看到正确的结果啦！

顺便提一句32位float，即单精度浮点数的有效位数是7位，也就是说只含七个数字的数都能精确被float类型表示。

最后关于这个E还有一点要提，这个E有两个特殊的值，处理的时候是与正常结果不一样的，就是当E= 0000 0000 或 E = 1111 1111时，根据国际标准IEEE 754规定:
当E= 0000 0000 时
指数位为0了，如下图所示，意味着这里的指数达到了最小，

此时规定，这里的1不加了，此时的E -127不等于-127，而是等于-126，E全为0。这时，浮点数的指数E等于1-127（或者1-1023），有效数字M不再加上第一位的1，而是还原为0.xxxxxx的小数。这样做是为了表示±0，以及接近于0的很小的数字。

当E= 1111 1111 时
E全为1。这时，如果有效数字M全为0，表示±无穷大（正负取决于符号位s）；如果有效数字M不全为0，表示这个数不是一个数（NaN）。

最难以理解的地方：E= 0000 0000 和E = 11111111

我始终理解不了，为什么有这么古怪的规定，后来慢慢明白了，有了这些规定，尽管int类型里我们无法表示无穷大和无穷小，但是通过浮点数，我们可以处理各种各样的数据类型，都不会报错

比如在C#代码中，下述操作不会报错：

C++也是同样没问题：

如果改变d1为0，则得到的结果是无效的，float对于这种数字，一样能处理：

所以说，这么设计浮点数，让浮点数能够广泛应用到所有的数字中，这样设计浮点数，容错率很高