[BZOJ1045][HAOI2008][贪心]糖果传递

[Problem Description]

有n个小朋友坐成一圈，每人有ai个糖果。每人只能给左右两人传递糖果。每人每次传递一个糖果代价为1。求使所有人获得均等糖果的最小代价。

[Algorithm]

贪心

[Analysis]

这是一个 环形均分纸牌问题。用A[i]表示糖果数，tar表示目标的糖果数量。用X[i]表示从i + 1移动到i的糖果的个数（可+可-）。由此可以得到式子 A[i] + X[i] - X[i - 1] = tar。我们可以得到这样的n - 1个方程（第n个可以由前n - 1个推导）。但是这样不足以求解。我们进行以下变形：

A[2] + X[2] - X[1] = tar => X[2] = X[1] + tar - A[2]

A[3] + X[3] - X[2] = tar => X[3] = X[2] + tar - A[3] = X[1] + (tar - A[2]) + (tar - A[3])

设 W[1] = 0, W[2] = A[2] - tar, W[i] = W[i - 1] + A[i] - tar,则  X[i] = X[1] - W[i]

所以 Ans = sigma (|X[1] - W[i]|), 1 <= i <= n

而这个式子的几何意义是找一个点，使得这个点到W[i]所对应的每一个点的距离的和最小。所以X[1]应该取W[i]的中位数。

[Code]

/**************************************************************
    Problem: 1045
    User: gaotianyu1350
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:2808 ms
    Memory:16904 kb
****************************************************************/
 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
 
const long long MAXN = 1000100;
long long a[MAXN], s[MAXN] = {0};
long long n, tar, middle, sum = 0;
 
int main()
{
    scanf("%lld", &n);
    for (long long i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%lld", &a[i]), sum += a[i];
    tar = sum / n;
    for (long long i = 1; i <= n - 1; i++)
        s[i] = s[i - 1] + a[i] - tar;
    s[n] = 0;
    sort(s + 1, s + n + 1);
    middle = s[(n + 1) / 2];
    long long ans = 0;
    for (long long i = 1; i <= n; i++)
        ans += fabs(middle - s[i]);
    printf("%lld\n", ans);
}