浅谈数据结构-树状数组

例题：
已知一个数列，你需要进行下面两种操作：
1.将某一个数加上x
2.求出某区间每一个数的和
数列的长度<=100000；询问次数<=100000

首先考虑普通的算法：
数组维护
·修改O(1)
·查询O(n)
前缀和维护
·修改O(n)
·查询O(1)
对于100000的数据，两种算法都不尽人意

在引出问题的解决方法前本蒟蒻先弱弱的说一句
在线的一系列数据结构其实就是在若干组操作中找到均摊O(logn)的平衡从而解决问题

解决方法:树状数组
树状数组通过c数组累计一部分区间的数的和从而达到加速查询和修改的目的，每一个c[i]都是从自己点开始向下每次减1的累计a[i]的
然而每一个C值所涵盖的A[i]的数量不同，先看一张表：
C1 = A1
C2 = A1 + A2
C3 = A3
C4 = A1 + A2 + A3 + A4
C5 = A5
C6 = A5 + A6
C7 = A7
C8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8
C[i]包含的a值的数量应是i的二进制形式的末尾0的数目的2的幂次
用位运算的方法写lowbit(x)=x&&-x;

实际上1..x的和是被分解成若干个C[i]的和来查询的
我们查询的时候要保证不重复统计，所以从n开始递减，将这个点的c[i]加上后，找到当前点涵盖最小的点的上一个c[i]，知道把1到n全部涵盖
查询代码

int ask(int pos)
{
int tot=0;
while(pos>0)
{
tot+=c[pos];
pos-=lowbit(pos);
}
}

对于修改操作，我们只要找到涵盖点x的c[i]将其修改就就可以了
根据c数组的定义，这样的值不超过logn个
另外，树状数组之所以称为树状数组，观察上图，每个c节点的父亲也只有一个，是x+lowbit(x)，这样我们就可以采用类似于查询的方式修改了

void change(int pos,int cont)
{
while(pos<=size)
{
c[pos]+=cont;
pos+=lowbit(pos);
}
}

关于c数组的初始化：
方法1：
Sum[i]表示1到i的前缀和
则C[i]=s[i]-s[i-lowbit(i)-1]
方法2：
在读n个数的时候每读进一个数就把这个数的值加到被包含的c[i]上,c[i]初始值为0

方法2时间上是(n log n)不及方法1但空间上比方法1优我觉得这里可以依个人喜好和题意来选择初始化方法

总结：树状数组是一种神奇的数据结构，神奇到你一时半会想不通他到底是如何做到高效简短的查询和修改，还需要多用手模拟c数组和这个过程才能彻底理解。